Probabilidad y Estadística 2024 Castilla y Leon
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Test de diagnóstico
P5.
El 10 % de los habitantes de una región padece cierta enfermedad. El único test disponible para detectar esa enfermedad resulta positivo en el 97 % de las personas con la enfermedad. Este test también resulta positivo en el 1 % de las personas que no padecen la enfermedad. Si se realiza el test a una persona elegida al azar de dicha región, determinar:
a) La probabilidad de que el test resulte positivo.
b) Si el test resulta negativo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga la enfermedad?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) La probabilidad de que el test resulte positivo.**
Primero, definimos los sucesos del problema para organizar la información:
- $E$: La persona padece la enfermedad.
- $\bar{E}$: La persona no padece la enfermedad (está sana).
- $+$: El test resulta positivo.
- $-$: El test resulta negativo.
Datos del enunciado:
- $P(E) = 10\% = 0,10 \implies P(\bar{E}) = 1 - 0,10 = 0,90$
- $P(+|E) = 97\% = 0,97 \implies P(-|E) = 1 - 0,97 = 0,03$
- $P(+|\bar{E}) = 1\% = 0,01 \implies P(-|\bar{E}) = 1 - 0,01 = 0,99$
Representamos estos datos en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de test positivo
Para hallar $P(+)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de todas las ramas que terminan en un test positivo:
$$P(+) = P(E) \cdot P(+|E) + P(\bar{E}) \cdot P(+|\bar{E})$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(+) = 0,10 \cdot 0,97 + 0,90 \cdot 0,01$$
$$P(+) = 0,097 + 0,009$$
$$P(+) = 0,106$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas finales siempre debe dar 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(+) = 0,106}$$
La probabilidad de que el test resulte positivo es del **10,6 %**.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) Si el test resulta negativo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga la enfermedad?**
Nos piden la probabilidad de que la persona esté enferma sabiendo que el test ha sido negativo, es decir, $P(E|-)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|-) = \frac{P(E \cap -)}{P(-)} = \frac{P(E) \cdot P(-|E)}{P(-)}$$
Primero, calculamos el denominador $P(-)$ (test negativo). Como el suceso negativo es el complementario del positivo:
$$P(-) = 1 - P(+) = 1 - 0,106 = 0,894$$
Ahora calculamos el numerador (enfermo y test negativo):
$$P(E \cap -) = P(E) \cdot P(-|E) = 0,10 \cdot 0,03 = 0,003$$
Finalmente, calculamos el cociente:
$$P(E|-) = \frac{0,003}{0,894} \approx 0,0033557$$
💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, dividimos la probabilidad del camino que nos interesa entre la probabilidad total de la condición dada.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|-) \approx 0,0034}$$
La probabilidad de que una persona esté enferma habiendo dado negativo es aproximadamente del **0,34 %**.