Distribución normal de la media muestral e intervalo de confianza

**a) Suponiendo que $\mu$ toma el valor de 24 kg, ¿cuál es la probabilidad de que un lote con 36 sacos tenga un peso medio superior a 25.1250 kg?** Primero, definimos la variable aleatoria poblacional $X$ como el peso de un saco de cemento. Según el enunciado: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(24, 2.25)$$ Cuando trabajamos con una muestra de tamaño $n = 36$, la media muestral $\bar{X}$ también sigue una distribución normal, pero con una desviación típica menor (el error típico). La distribución de la media muestral es: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos los parámetros para este caso concreto: - Media: $\mu = 24$ - Desviación típica muestral: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{2.25}{\sqrt{36}} = \dfrac{2.25}{6} = 0.375$ Por tanto: $\bar{X} \sim N(24, 0.375)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica de la media de la muestra disminuye al aumentar el tamaño de la muestra ($n$), siguiendo la fórmula $\sigma_{\bar{x}} = \sigma / \sqrt{n}$.

Queremos calcular la probabilidad de que la media sea superior a $25.1250$ kg, es decir, $P(\bar{X} \gt 25.1250)$. Para ello, tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$: $$P(\bar{X} \gt 25.1250) = P\left(Z \gt \frac{25.1250 - 24}{0.375}\right)$$ $$P(Z \gt \frac{1.125}{0.375}) = P(Z \gt 3)$$ Como las tablas de la normal suelen dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos el suceso complementario: $$P(Z \gt 3) = 1 - P(Z \le 3)$$ Buscando en la tabla de la distribución $N(0, 1)$, encontramos que $P(Z \le 3) = 0.9987$. $$P = 1 - 0.9987 = 0.0013$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 25.1250) = 0.0013}$$ 💡 **Tip:** Al tipificar, asegúrate de usar la desviación típica de la media muestral ($0.375$) y no la poblacional ($2.25$).

**b) Se toma una muestra de 15 sacos y se obtiene una media muestral del peso de 25.65 kg. Determinar, al nivel de confianza del 97 %, un intervalo para la media poblacional $\mu$.** Identificamos los datos para el intervalo de confianza: - Tamaño de muestra: $n = 15$ - Media muestral: $\bar{x} = 25.65$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2.25$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.97$, entonces $\alpha = 0.03$. 2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0.015 = 0.985$. Mirando en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja una probabilidad de $\alpha/2$ en la cola derecha y, por tanto, $1 - \alpha/2$ a su izquierda.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{2.25}{\sqrt{15}}$$ $$E = 2.17 \cdot \frac{2.25}{3.87298} = 2.17 \cdot 0.58095 \approx 1.2607$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $25.65 - 1.2607 = 24.3893$ - Extremo superior: $25.65 + 1.2607 = 26.9107$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (24.3893, 26.9107)}$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos indica que, con una seguridad del 97 %, la verdadera media del peso de los sacos de cemento de la máquina está comprendida entre esos dos valores.