Dimensión de una matriz en una ecuación matricial

**C1. Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Si $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$, determinar la dimensión de la matriz $X$ que es solución de la ecuación $(A + B^t) \cdot X = C$.** En primer lugar, identificamos las dimensiones de las matrices que intervienen en la ecuación: - La matriz $A$ tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que su dimensión es **$2 \times 3$**. - La matriz $B$ tiene 3 filas y 2 columnas, por lo que su dimensión es **$3 \times 2$**. - La matriz $C$ tiene 2 filas y 1 columna, por lo que su dimensión es **$2 \times 1$**. 💡 **Tip:** La dimensión de una matriz se expresa siempre como (número de filas) $\times$ (número de columnas).

Para poder realizar la operación $(A + B^t)$, primero determinamos la dimensión de $B^t$. La matriz traspuesta $B^t$ se obtiene intercambiando filas por columnas. Si $B$ es una matriz de dimensión $3 \times 2$, entonces: $$\text{dim}(B^t) = 2 \times 3$$ Ahora, comprobamos si la suma $A + B^t$ es posible. Dos matrices solo pueden sumarse si tienen la misma dimensión. - Dimensión de $A$: $2 \times 3$ - Dimensión de $B^t$: $2 \times 3$ Como coinciden, la matriz resultante de la suma, que llamaremos $M = (A + B^t)$, mantendrá esa misma dimensión: $$\text{dim}(M) = 2 \times 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar o restar matrices, estas deben ser obligatoriamente del mismo orden o dimensión.

La ecuación planteada es $M \cdot X = C$. Analicemos las dimensiones para que el producto de matrices sea posible. Sea $X$ una matriz de dimensión $m \times n$. La regla del producto de matrices establece que: 1. El número de columnas de la primera matriz ($M$) debe ser igual al número de filas de la segunda matriz ($X$). 2. La matriz resultante ($C$) tendrá el número de filas de la primera ($M$) y el número de columnas de la segunda ($X$). Planteamos las dimensiones: $$(2 \times 3) \cdot (m \times n) = (2 \times 1)$$ De la primera condición (compatibilidad del producto): $$3 = m$$ De la segunda condición (dimensión del resultado): $$n = 1$$ Por lo tanto, la matriz $X$ debe tener **3 filas y 1 columna**. 💡 **Tip:** En el producto $A_{p \times q} \cdot B_{q \times r} = C_{p \times r}$, fíjate en que los números "interiores" ($q$) deben ser iguales y los "exteriores" ($p$ y $r$) definen el tamaño del resultado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La dimensión de } X \text{ es } 3 \times 1}$$ (Es decir, $X$ es un vector columna de 3 elementos).