Dominio de una función racional

La función $f(x) = \frac{x^3}{x(x^2-1)}$ es una **función racional** (un cociente de dos polinomios). El dominio de definición de una función racional está formado por todos los números reales, excepto aquellos que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida. Por tanto, debemos buscar los valores de $x$ que cumplen: $$x(x^2 - 1) = 0$$ 💡 **Tip:** Aunque la expresión se pueda simplificar, el dominio de la función original se calcula **antes** de realizar cualquier simplificación algebraica.

Para hallar los puntos que no pertenecen al dominio, resolvemos la ecuación: $$x(x^2 - 1) = 0$$ Esta es una ecuación producto. Para que el producto sea cero, al menos uno de los factores debe serlo: 1. **Primer factor:** $$x = 0$$ 2. **Segundo factor:** $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1$$ Calculamos la raíz cuadrada en ambos lados: $$x = \pm \sqrt{1} \implies x = 1, \quad x = -1$$ Los valores que anulan el denominador son **$x = -1$**, **$x = 0$** y **$x = 1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que al resolver $x^2 = a$, siempre obtenemos dos soluciones: $\pm \sqrt{a}$.

El dominio de la función $f(x)$ es el conjunto de todos los números reales ($\mathbb{R}$) exceptuando los valores hallados en el paso anterior. Escrito de forma analítica: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$$ O también expresado mediante intervalos: $$\text{Dom}(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}}$$