Álgebra 2024 Castilla y Leon
Optimización de comprimidos de vitaminas
En una concentración deportiva, el médico indica que cada deportista debe tomar entre un mínimo de 110 mg y un máximo de 250 mg de vitamina C al día, y también entre 80 y 150 mg de magnesio. Los deportistas toman comprimidos de VITAMIN que contienen, cada uno, 40 mg de vitamina C y 10 mg de magnesio. Asimismo, ingieren comprimidos MAGNE con 10 mg de vitamina C y 20 mg de magnesio cada uno. Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, el número de comprimidos de cada tipo que son necesarios si se desea tomar el menor número posible de comprimidos e ingerir la dosis necesaria de vitamina C y de magnesio.
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
En primer lugar, debemos identificar qué es lo que queremos calcular para definir nuestras variables:
* $x$: número de comprimidos de tipo **VITAMIN**.
* $y$: número de comprimidos de tipo **MAGNE**.
El objetivo es minimizar el número total de comprimidos ingeridos. Por tanto, definimos la **función objetivo** como:
$$f(x, y) = x + y$$
💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, la función objetivo suele representar el coste, el beneficio o, como en este caso, una cantidad total que queremos hacer mínima o máxima.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A partir de los datos del enunciado, establecemos las limitaciones (restricciones) para la vitamina C y el magnesio.
**1. Restricciones de Vitamina C:**
Cada comprimido $x$ aporta 40 mg y cada $y$ aporta 10 mg. El total debe estar entre 110 y 250 mg:
$$110 \le 40x + 10y \le 250$$
Podemos simplificar dividiendo entre 10:
$$11 \le 4x + y \le 25$$
**2. Restricciones de Magnesio:**
Cada comprimido $x$ aporta 10 mg y cada $y$ aporta 20 mg. El total debe estar entre 80 y 150 mg:
$$80 \le 10x + 20y \le 150$$
Simplificamos dividiendo entre 10:
$$8 \le x + 2y \le 15$$
**3. Restricciones de no negatividad:**
No se pueden tomar cantidades negativas de comprimidos:
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones facilita mucho el cálculo de los puntos de corte y la representación gráfica posterior.
Paso 3
Cálculo de los vértices de la región factible
La región factible es el polígono formado por la intersección de todas las restricciones. Para hallar sus vértices, resolvemos los sistemas de ecuaciones de las rectas que limitan dicha región:
* **Vértice A:** Intersección de $4x + y = 11$ y $x + 2y = 8$.
Despejamos $y = 11 - 4x$ y sustituimos en la otra: $x + 2(11 - 4x) = 8 \implies x + 22 - 8x = 8 \implies -7x = -14 \implies \mathbf{x = 2, y = 3}$.
* **Vértice B:** Intersección de $4x + y = 11$ y $x + 2y = 15$.
$x + 2(11 - 4x) = 15 \implies -7x = -7 \implies \mathbf{x = 1, y = 7}$.
* **Vértice C:** Intersección de $4x + y = 25$ y $x + 2y = 15$.
$x + 2(25 - 4x) = 15 \implies -7x = -35 \implies \mathbf{x = 5, y = 5}$.
* **Vértice D:** Intersección de $4x + y = 25$ y $x + 2y = 8$.
$x + 2(25 - 4x) = 8 \implies -7x = -42 \implies \mathbf{x = 6, y = 1}$.
Los vértices son: **$A(2, 3)$**, **$B(1, 7)$**, **$C(5, 5)$** y **$D(6, 1)$**.
Paso 4
Optimización y solución final
Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices para encontrar el valor mínimo:
* En $A(2, 3)$: $f(2, 3) = 2 + 3 = 5$ comprimidos.
* En $B(1, 7)$: $f(1, 7) = 1 + 7 = 8$ comprimidos.
* En $C(5, 5)$: $f(5, 5) = 5 + 5 = 10$ comprimidos.
* En $D(6, 1)$: $f(6, 1) = 6 + 1 = 7$ comprimidos.
El valor mínimo se alcanza en el punto $A(2, 3)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Se deben tomar 2 comprimidos de VITAMIN y 3 comprimidos de MAGNE}}$$
💡 **Tip:** En problemas de programación lineal sobre regiones acotadas (como este polígono), el máximo y el mínimo siempre se encuentran en uno de los vértices de la región factible.