Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de $k$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de los coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada con los términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 1 & 0 & 5-k \\ 1 & -3 & k \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 5-k & -10 \\ 1 & -3 & k & 10 \end{array}\right)$$ Para clasificar el sistema, estudiaremos los rangos de $A$ y $A^*$ aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius** en función del parámetro $k$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $Rang(A) = Rang(A^*)$, el sistema es compatible. Si además es igual al número de incógnitas, la solución es única (SCD).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo el rango es máximo (rango 3): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 1 & 0 & 5-k \\ 1 & -3 & k \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus o, de forma más sencilla, restamos la fila 1 a la fila 3 ($F_3 \to F_3 - F_1$): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 1 & 0 & 5-k \\ 0 & 0 & k-5 \end{vmatrix}$$ Ahora desarrollamos por la segunda columna (que tiene muchos ceros): $$|A| = -(-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5-k \\ 0 & k-5 \end{vmatrix} = 3 \cdot (1 \cdot (k-5) - 0 \cdot (5-k)) = 3(k-5)$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$3(k-5) = 0 \implies k = 5$$ 💡 **Tip:** Restar filas que tienen elementos iguales facilita mucho el cálculo de determinantes al generar ceros.

Estudiamos los casos según el valor de $k$: **Caso 1: $k \neq 5$** Si $k \neq 5$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de $A$ es 3. Como el rango de $A$ no puede ser mayor que el de $A^*$ y el máximo número de incógnitas es 3: $$Rang(A) = Rang(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, con una única solución. **Caso 2: $k = 5$** Si $k = 5$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $Rang(A) < 3$. Veamos la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -10 \\ 1 & -3 & 5 & 10 \end{array}\right)$$ Como las filas 1 y 3 de la matriz $A$ son iguales, el $Rang(A) = 2$ (ya que el menor $\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$). Para calcular el $Rang(A^*)$, tomamos un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -3 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -10 \\ -3 & 5 & 10 \end{vmatrix} = -(-10) \cdot \begin{vmatrix} -3 & 5 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$$ Probamos con otro menor de orden 3: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -10 \\ 1 & -3 & 10 \end{vmatrix} = (0 + 30 + 0) - (0 + 30 - 30) = 30 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero, $Rang(A^*) = 3$. Al ser $Rang(A) = 2 \neq Rang(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**, no tiene solución.

Concluimos la clasificación del sistema según los valores de $k$: ✅ **Resultado (Clasificación):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \neq 5: & \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)} \\ \text{Si } k = 5: & \text{Sistema Incompatible (SI)} \end{cases}}$$

**b) Resolver el sistema para $k = 1$.** Sustituimos $k = 1$ en el sistema original. Sabemos por el apartado anterior que es un SCD: $$\begin{cases} x - 3y + 5z = 0 \\ x + 4z = -10 \\ x - 3y + z = 10 \end{cases}$$ Podemos usar el método de Cramer. El determinante de la matriz es $|A| = 3(1-5) = -12$. Calculamos $x$: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & -3 & 5 \\ -10 & 0 & 4 \\ 10 & -3 & 1 \end{vmatrix}}{-12} = \frac{(0 - 120 + 150) - (0 + 30 + 0)}{-12} = \frac{30 - 30}{-12} = 0$$ Calculamos $y$: $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 1 & -10 & 4 \\ 1 & 10 & 1 \end{vmatrix}}{-12} = \frac{(-10 + 0 + 50) - (-50 + 40 + 0)}{-12} = \frac{40 - (-10)}{-12} = \frac{50}{-12} = -\frac{25}{6}$$ Calculamos $z$: $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -10 \\ 1 & -3 & 10 \end{vmatrix}}{-12} = \frac{(0 + 30 + 0) - (0 + 30 - 30)}{-12} = \frac{30}{-12} = -\frac{5}{2}$$ ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = 0, \quad y = -\frac{25}{6}, \quad z = -\frac{5}{2}}$$