Continuidad y estudio de funciones con parámetros

**a) Determinar el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio.** Primero, analizamos la continuidad de cada rama por separado: 1. La función $f_1(x) = x^2 + x - 2$ es un polinomio, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$, y en particular en el intervalo $(-\infty, 1]$. 2. La función $f_2(x) = a + \ln(x)$ es una función logarítmica desplazada, que es continua para $x \gt 0$, por lo que es continua en el intervalo $(1, +\infty)$. El único punto donde la continuidad podría fallar es en el punto de salto entre ramas, $x = 1$. Para que sea continua en $x = 1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Valor de la función:** $f(1) = 1^2 + 1 - 2 = 0$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + x - 2) = 1^2 + 1 - 2 = 0$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} (a + \ln(x)) = a + \ln(1) = a + 0 = a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto $x=c$, se debe cumplir que $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Para que la función sea continua, igualamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 0 = a$$ Por lo tanto, el valor de $a$ para que la función sea continua en todo su dominio es $a = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

**b) Para $a = 1$, estudiar los puntos de corte con los ejes, monotonía y extremos relativos.** Sustituimos $a = 1$ en la función: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 2 & \text{si } x \le 1 \\ 1 + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ **Corte con el eje Y (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$. Como $0 \le 1$, usamos la primera rama: $$f(0) = 0^2 + 0 - 2 = -2 \implies \mathbf{(0, -2)}$$ **Corte con el eje X (eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$ en cada rama: 1. Rama $x \le 1$: $x^2 + x - 2 = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = -2$$ Ambos valores cumplen la condición $x \le 1$, por lo que tenemos los puntos $\mathbf{(1, 0)}$ y $\mathbf{(-2, 0)}$. 2. Rama $x \gt 1$: $1 + \ln(x) = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} \approx 0.368$. Como $0.368$ no es mayor que 1, este valor no pertenece al dominio de esta rama y no produce un punto de corte. ✅ **Resultado (Cortes):** $$\boxed{(0, -2), (-2, 0) \text{ y } (1, 0)}$$

Calculamos la derivada de la función para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{1}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: 1. En la primera rama: $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$ (está en el intervalo $x \lt 1$). 2. En la segunda rama: $1/x = 0$ no tiene solución. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico ($x = -1/2$) y el punto de salto de la función ($x = 1$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + \\\hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Salto} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para saber si es creciente o decreciente, toma un valor de cada intervalo y sustitúyelo en $f'(x)$. Por ejemplo, $f'(-1) = 2(-1)+1 = -1$ (negativo, decrece).

A partir de la tabla de monotonía concluimos: - La función es **decreciente** en $(-\infty, -1/2)$. - La función es **creciente** en $(-1/2, 1) \cup (1, +\infty)$. En $x = -1/2$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(-1/2) = (-1/2)^2 + (-1/2) - 2 = 1/4 - 1/2 - 2 = -9/4 = -2.25$. Aunque en $x=1$ hay un cambio de rama, al ser $a=1$ la función es discontinua (salto finito de $y=0$ a $y=1$), por lo que no se considera un extremo relativo en el sentido clásico de derivada cero o cambio de signo en función continua. ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, -0.5); \text{ Creciente: } (-0.5, 1) \cup (1, +\infty); \text{ Mínimo relativo en } (-0.5, -2.25)}$$