Continuidad y límites en contexto: Temperatura del mar Mediterráneo

**a) Estudiar si la temperatura del agua ha cambiado de forma continua a lo largo de los años.** La función $T(x)$ está definida por dos ramas. La primera es un polinomio (continua en su intervalo) y la segunda es una función racional cuyo denominador $2x^2 + 2$ nunca es cero (siempre es positivo), por lo que también es continua. El único punto donde la continuidad podría fallar es en el salto entre ramas, en **$x = 3$** (que corresponde al inicio de 2013). Para que sea continua en $x=3$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Valor de la función:** Usamos la segunda rama ($x \ge 3$): $$T(3) = \frac{52(3)^2 + 3(3) + 23}{2(3)^2 + 2} = \frac{52 \cdot 9 + 9 + 23}{2 \cdot 9 + 2}$$ $$T(3) = \frac{468 + 32}{18 + 2} = \frac{500}{20} = 25$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Calculamos ahora los límites por la izquierda y por la derecha: - **Límite por la izquierda ($x \to 3^-$):** Usamos la primera rama: $$\lim_{x \to 3^-} (22 + 5.5x - 1.5x^2) = 22 + 5.5(3) - 1.5(3)^2 = 22 + 16.5 - 13.5 = 25$$ - **Límite por la derecha ($x \to 3^+$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to 3^+} \frac{52x^2 + 3x + 23}{2x^2 + 2} = \frac{500}{20} = 25$$ Como $\lim_{x \to 3^-} T(x) = \lim_{x \to 3^+} T(x) = T(3) = 25$, la función es continua en $x=3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La temperatura ha cambiado de forma continua en todo su dominio (} x \ge 0 \text{)}}$$

**b) Hallar la temperatura del agua al inicio del año 2014 y razonar cuál se prevé que será la temperatura del agua dentro de muchos años.** Primero identificamos el valor de $x$ para el inicio de 2014. Si $x=0$ es el inicio de 2010: - Inicio de 2011: $x=1$ - Inicio de 2012: $x=2$ - Inicio de 2013: $x=3$ - **Inicio de 2014: $x=4$** Como $4 \ge 3$, sustituimos en la segunda rama: $$T(4) = \frac{52(4)^2 + 3(4) + 23}{2(4)^2 + 2} = \frac{52 \cdot 16 + 12 + 23}{2 \cdot 16 + 2}$$ $$T(4) = \frac{832 + 35}{32 + 2} = \frac{867}{34} = 25.5$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de qué rama corresponde al valor de la variable independiente $x$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{T(4) = 25.5^\circ\text{C}}$$

Para saber la temperatura "dentro de muchos años", debemos calcular el límite cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to +\infty} T(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{52x^2 + 3x + 23}{2x^2 + 2}$$ Estamos ante un límite de una función racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador (ambos de grado 2). El límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{52x^2 + 3x + 23}{2x^2 + 2} = \frac{52}{2} = 26$$ Esto significa que la función tiene una asíntota horizontal en $y = 26$. Por tanto, la temperatura se estabilizará en torno a los $26^\circ\text{C}$. 💡 **Tip:** Cuando $x \to \infty$ en funciones racionales: - Si $gr(Num) = gr(Den)$, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. - Si $gr(Num) \lt gr(Den)$, el límite es $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La temperatura prevista a largo plazo es de } 26^\circ\text{C}}$$