Inferencia estadística: Intervalos de confianza y errores

**a) ¿Cuál es el intervalo de confianza para la media de viajes anuales en toda la población para un nivel de significación del 4 %?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la población y la muestra: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$ - Tamaño de la muestra: $n = 625$ - Media muestral: $\bar{x} = 16$ - Nivel de significación: $\alpha = 4\% = 0,04$ A partir del nivel de significación, calculamos el nivel de confianza: $1 - \alpha = 1 - 0,04 = 0,96$ (es decir, un **96 % de confianza**). Para hallar el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0,04}{2} = 0,98$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ el valor que más se aproxima a una probabilidad de $0,98$: - Para $z = 2,05$, la probabilidad es $0,9798$ - Para $z = 2,06$, la probabilidad es $0,9803$ Tomamos el valor más cercano o la media, en este caso usaremos **$z_{\alpha/2} = 2,05$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de significación $\alpha$ es la probabilidad de que el parámetro real quede fuera de nuestro intervalo. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ reparte ese error en las dos 'colas' de la distribución normal.

La fórmula para el error máximo admisible $E$ es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos nuestros valores: $$E = 2,05 \cdot \frac{10}{\sqrt{625}} = 2,05 \cdot \frac{10}{25} = 2,05 \cdot 0,4 = 0,82$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (16 - 0,82, 16 + 0,82) = (15,18, 16,82)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (15,18, 16,82)}$$

**b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 90 %?** En este apartado cambian las condiciones de la muestra y el nivel de confianza: - Desviación típica: $\sigma = 10$ (se mantiene) - Nuevo tamaño de muestra: $n = 500$ - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 90\% = 0,90$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: Si $1 - \alpha = 0,90$, entonces $\alpha = 0,10$ y $\alpha/2 = 0,05$. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ En las tablas de la normal, el valor exacto para $0,95$ se encuentra justo en medio de $1,64$ y $1,65$. Por tanto, utilizamos **$z_{\alpha/2} = 1,645$**. 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes suelen ser $1,645$ para el $90\%$, $1,96$ para el $95\%$ y $2,575$ para el $99\%$.

Utilizamos de nuevo la fórmula del error con los nuevos datos: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituyendo los valores: $$E = 1,645 \cdot \frac{10}{\sqrt{500}}$$ Calculamos primero la raíz cuadrada de $500$: $$\sqrt{500} \approx 22,3607$$ Ahora realizamos la operación final: $$E = 1,645 \cdot \frac{10}{22,3607} = 1,645 \cdot 0,4472 = 0,7356$$ ✅ **Resultado (Error máximo):** $$\boxed{E \approx 0,7356}$$ (Nota: Si se redondea a dos decimales, el error es **$0,74$**).