Probabilidad de matriculación en Empresa y diseño de modelos de negocio

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales: - $G$: El estudiante elegido es chica. - $O$: El estudiante elegido es chico. - $E$: El estudiante está matriculado en la asignatura Empresa y diseño de modelos de negocio. - $\bar{E}$: El estudiante **no** está matriculado en dicha asignatura. Calculamos las probabilidades de elegir una chica o un chico basándonos en el total de estudiantes: - Total de estudiantes: $150 + 75 = 225$. - $P(G) = \dfrac{150}{225} = \dfrac{2}{3}$ - $P(O) = \dfrac{75}{225} = \dfrac{1}{3}$ Del enunciado obtenemos las probabilidades condicionadas: - $P(E|G) = \dfrac{44}{100} = 0.44 \implies P(\bar{E}|G) = 1 - 0.44 = 0.56$ - $P(E|O) = \dfrac{5}{10} = 0.5 \implies P(\bar{E}|O) = 1 - 0.5 = 0.5$ 💡 **Tip:** Es fundamental que la suma de las probabilidades de los sucesos elementales (ser chica o chico) sea 1, al igual que las ramas que salen de cada nodo en el árbol.

Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para visualizar todos los caminos posibles:

**a) Si se elige un estudiante al azar de segundo curso de Bachillerato, hallar la probabilidad de que no esté matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio.** Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un estudiante puede no estar matriculado siendo chica o siendo chico: $$P(\bar{E}) = P(G) \cdot P(\bar{E}|G) + P(O) \cdot P(\bar{E}|O)$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{E}) = \left( \frac{2}{3} \cdot 0.56 \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot 0.5 \right)$$ $$P(\bar{E}) = \frac{1.12}{3} + \frac{0.5}{3} = \frac{1.62}{3} = 0.54$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando el suceso de interés (no estar matriculado) depende de una partición previa del espacio muestral (ser chica o chico). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{E}) = 0.54}$$ (También expresable como $54\%$)

**b) Sabiendo que el estudiante elegido está matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?** Se nos pide la probabilidad a posteriori $P(G|E)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(G|E) = \frac{P(G \cap E)}{P(E)}$$ Primero calculamos $P(E)$. Como sabemos que $P(\bar{E}) = 0.54$, usamos el suceso contrario: $$P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - 0.54 = 0.46$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (ser chica y estar matriculada): $$P(G \cap E) = P(G) \cdot P(E|G) = \frac{2}{3} \cdot 0.44 = \frac{0.88}{3} \approx 0.2933$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(G|E) = \frac{0.88 / 3}{0.46} = \frac{0.88}{3 \cdot 0.46} = \frac{0.88}{1.38} = \frac{88}{138} = \frac{44}{69} \approx 0.6377$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la probabilidad condicionada. Si conocemos $P(E|G)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(G|E)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G|E) = \frac{44}{69} \approx 0.6377}$$