Resolución de una ecuación matricial

Para despejar la incógnita $X$, el primer paso es eliminar el paréntesis aplicando la **propiedad distributiva** del producto de matrices respecto de la suma: $$C(A + X) = CA + CX$$ Sustituimos esto en la ecuación original: $$CA + CX = B - 2X$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en el producto de matrices el orden es fundamental. Al multiplicar $C$ por el paréntesis desde la izquierda, obtenemos $CA$ y $CX$, nunca $AC$ ni $XC$.

Debemos trasladar todos los términos que contienen la matriz $X$ a un lado de la igualdad (preferiblemente al izquierdo) y el resto de los términos al otro lado: $$CX + 2X = B - CA$$ En este paso, hemos sumado $2X$ en ambos lados y restado $CA$ en ambos lados para aislar la incógnita.

Para poder despejar $X$, necesitamos extraerla como factor común. Es muy importante notar que el término $2X$ se puede escribir como $2IX$, donde $I$ es la **matriz identidad**. Como la matriz $X$ multiplica por la derecha en ambos sumandos ($CX$ y $2IX$), factorizamos por la derecha: $$(C + 2I)X = B - CA$$ 💡 **Tip:** No olvides incluir la matriz identidad $I$ al sacar factor común un número. Un error común de los alumnos es escribir $(C+2)X$, pero no se puede sumar un número real a una matriz.

Para dejar sola a la matriz $X$, debemos eliminar la matriz $(C + 2I)$ que la premultiplica. Para ello, multiplicamos por su inversa $(C + 2I)^{-1}$ por la **izquierda** en ambos lados de la ecuación: $$(C + 2I)^{-1}(C + 2I)X = (C + 2I)^{-1}(B - CA)$$ Como $(C + 2I)^{-1}(C + 2I) = I$ y $IX = X$, obtenemos el despeje final: $$\boxed{X = (C + 2I)^{-1}(B - CA)}$$ 💡 **Tip:** Para que esta solución exista, debemos suponer que la matriz $(C + 2I)$ es regular o invertible, es decir, que su determinante es distinto de cero: $|C + 2I| \neq 0$.