Área bajo la curva de una función polinómica

**Calcular el área encerrada bajo la curva $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$ y el eje OX en el intervalo $[-2, -1]$.** Para calcular el área entre una curva y el eje OX, primero debemos comprobar si la función corta al eje OX dentro del intervalo dado, ya que si cambia de signo, tendríamos que dividir la integral en varios recintos. Buscamos los puntos de corte con el eje OX resolviendo $f(x) = 0$: $$x^3 + 3x^2 - 2 = 0$$ Probamos raíces enteras usando la regla de Ruffini. Observamos que $x = -1$ es raíz: $$-1 + 3 - 2 = 0$$ Dividiendo el polinomio por $(x+1)$ obtenemos: $$(x+1)(x^2 + 2x - 2) = 0$$ Las raíces de $x^2 + 2x - 2 = 0$ son: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$$ Las raíces son aproximadamente $x_1 = -1$, $x_2 \approx 0.73$ y $x_3 \approx -2.73$. En el intervalo $[-2, -1]$, la función no tiene raíces interiores (solo en el extremo $x = -1$). Evaluamos el signo en el intervalo, por ejemplo en $x = -1.5$: $$f(-1.5) = (-1.5)^3 + 3(-1.5)^2 - 2 = -3.375 + 6.75 - 2 = 1.375 > 0$$ Como la función es siempre positiva o cero en el intervalo, el área es simplemente la integral definida. 💡 **Tip:** Si la función fuera negativa en parte del intervalo, deberíamos usar el valor absoluto de la integral en esa región para que el área sea positiva.

Calculamos primero la primitiva de la función $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$: $$\int (x^3 + 3x^2 - 2) \, dx = \int x^3 \, dx + 3 \int x^2 \, dx - \int 2 \, dx$$ Aplicando las reglas de integración para potencias: $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$ Obtenemos: $$F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} - 2x = \frac{x^4}{4} + x^3 - 2x$$ $$\boxed{F(x) = \frac{x^4}{4} + x^3 - 2x}$$

Para hallar el área en el intervalo $[-2, -1]$, aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \int_{-2}^{-1} (x^3 + 3x^2 - 2) \, dx = F(-1) - F(-2)$$ Calculamos los valores numéricos: 1. Para $x = -1$: $$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + (-1)^3 - 2(-1) = \frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{1}{4} + 1 = 1.25$$ 2. Para $x = -2$: $$F(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + (-2)^3 - 2(-2) = \frac{16}{4} - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$$ Restamos los resultados: $$A = 1.25 - 0 = 1.25$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 1.25 \text{ unidades}^2}$$