Sistema de ecuaciones: Resultados de una liga de fútbol

Para resolver este problema, lo primero es identificar qué magnitudes desconocemos y asignarles una variable. En este caso, queremos saber el número de partidos ganados, empatados y perdidos. Llamaremos: - $x$: número de partidos ganados. - $y$: número de partidos empatados. - $z$: número de partidos perdidos. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el primer paso fundamental para no confundir los datos durante el planteamiento de las ecuaciones.

A partir del enunciado, traducimos el lenguaje natural a lenguaje algebraico para formar un sistema de tres ecuaciones: 1. **Total de partidos:** Se jugaron 38 partidos en total: $$x + y + z = 38$$ 2. **Puntuación total:** El campeón obtuvo 86 puntos (3 por victoria, 1 por empate, 0 por derrota): $$3x + 1y + 0z = 86 \implies 3x + y = 86$$ 3. **Relación entre resultados:** El triple de los empatados ($3y$) más los perdidos ($z$) exceden en 2 a los ganados ($x$): $$3y + z = x + 2 \implies -x + 3y + z = 2$$ El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x + y + z = 38 \\ 3x + y = 86 \\ -x + 3y + z = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Fíjate en la tercera frase: "exceder en 2" significa que si al grupo de la izquierda le restas 2, obtienes el de la derecha, o bien que el de la izquierda es igual al de la derecha más 2.

Utilizaremos el método de sustitución por ser muy directo en este caso, ya que podemos despejar variables fácilmente de las dos primeras ecuaciones. De la segunda ecuación, despejamos $y$: $$y = 86 - 3x$$ De la primera ecuación, despejamos $z$ en función de $x$ e $y$: $$z = 38 - x - y$$ Sustituimos el valor de $y$ en la expresión de $z$: $$z = 38 - x - (86 - 3x) = 38 - x - 86 + 3x$$ $$z = 2x - 48$$ Ahora, sustituimos $y$ y $z$ en la tercera ecuación ($-x + 3y + z = 2$): $$-x + 3(86 - 3x) + (2x - 48) = 2$$ Operamos paso a paso: $$-x + 258 - 9x + 2x - 48 = 2$$ $$-8x + 210 = 2$$ $$-8x = 2 - 210$$ $$-8x = -208$$ $$x = \frac{-208}{-8} = 26$$ El número de partidos ganados es **$x = 26$**.

Una vez hallado $x$, sustituimos en las expresiones anteriores para encontrar $y$ y $z$: Para los partidos empatados ($y$): $$y = 86 - 3(26) = 86 - 78 = 8$$ Para los partidos perdidos ($z$): $$z = 2(26) - 48 = 52 - 48 = 4$$ **Comprobación:** - Total de partidos: $26 + 8 + 4 = 38$ (Correcto). - Puntos: $3(26) + 1(8) = 78 + 8 = 86$ (Correcto). - Relación: $3(8) + 4 = 24 + 4 = 28$, que es $26 + 2$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El campeón ganó 26 partidos, empató 8 y perdió 4.}}$$