Álgebra 2024 Castilla y Leon
Optimización de inversión mediante programación lineal
P2.
Una empresa pretende fabricar artículos de dos tipos, A y B. La inversión en los artículos de tipo B debe ser de, al menos, 3000 euros y no se quiere invertir en los artículos del tipo A más del doble que en los del tipo B. La inversión en artículos del tipo A proporcionará un beneficio del 10 % de lo invertido en ese tipo de artículos. En cambio, el beneficio será del 5 % de lo invertido en los del tipo B. Si se dispone de 12000 euros, calcular, utilizando técnicas de programación lineal, cuánto se ha de invertir en la fabricación de cada producto para obtener el beneficio máximo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?
Paso 1
Definición de variables
En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema, que corresponden a las cantidades de dinero invertidas en cada tipo de artículo.
Definimos:
- $x$: Inversión en artículos de tipo A (en euros).
- $y$: Inversión en artículos de tipo B (en euros).
💡 **Tip:** Identificar correctamente las variables es el primer paso fundamental en cualquier problema de programación lineal.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A partir del enunciado, extraemos las condiciones que limitan la inversión (inecuaciones):
1. **Inversión mínima en B:** Debe ser de al menos 3000 €.
$$y \ge 3000$$
2. **Relación entre A y B:** No se quiere invertir en A más del doble que en B.
$$x \le 2y$$
3. **Presupuesto total:** Se dispone de un máximo de 12000 € para invertir en total.
$$x + y \le 12000$$
4. **No negatividad:** Como son inversiones, el dinero en A no puede ser negativo (en B ya sabemos que es $\ge 3000$).
$$x \ge 0$$
💡 **Tip:** No olvides nunca las restricciones de no negatividad ($x, y \ge 0$) a menos que el enunciado especifique otros límites mayores.
Paso 3
Función objetivo
La función objetivo representa lo que queremos maximizar, en este caso, el beneficio total.
El beneficio es el $10\,\%$ de $x$ y el $5\,\%$ de $y$:
$$B(x, y) = 0.10x + 0.05y$$
Queremos encontrar el valor de $(x, y)$ que haga que **$B(x, y)$ sea máximo** dentro de la región factible.
Paso 4
Representación gráfica de la región factible
Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones:
- $r_1: y = 3000$ (Recta horizontal).
- $r_2: x = 2y \implies y = \frac{x}{2}$ (Pasa por $(0,0)$ y $(6000, 3000)$).
- $r_3: x + y = 12000 \implies y = 12000 - x$ (Pasa por $(0, 12000)$ y $(12000, 0)$).
La intersección de los semiplanos definidos por las inecuaciones nos da un recinto cerrado (un triángulo en este caso).
Paso 5
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cruzan:
- **Vértice A** (Intersección de $y=3000$ y $x=2y$):
$$x = 2(3000) = 6000 \implies A(6000, 3000)$$
- **Vértice B** (Intersección de $y=3000$ y $x+y=12000$):
$$x + 3000 = 12000 \implies x = 9000 \implies B(9000, 3000)$$
- **Vértice C** (Intersección de $x=2y$ y $x+y=12000$):
Sustituimos $x$:
$$2y + y = 12000 \implies 3y = 12000 \implies y = 4000$$
$$x = 2(4000) = 8000 \implies C(8000, 4000)$$
Los vértices del recinto son:
$$\boxed{A(6000, 3000), \; B(9000, 3000), \; C(8000, 4000)}$$
Paso 6
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 0.10x + 0.05y$ en cada vértice para encontrar el valor máximo:
- En $A(6000, 3000)$:
$$B(6000, 3000) = 0.10(6000) + 0.05(3000) = 600 + 150 = 750 \text{ €}$$
- En $B(9000, 3000)$:
$$B(9000, 3000) = 0.10(9000) + 0.05(3000) = 900 + 150 = 1050 \text{ €}$$
- En $C(8000, 4000)$:
$$B(8000, 4000) = 0.10(8000) + 0.05(4000) = 800 + 200 = 1000 \text{ €}$$
El beneficio máximo es de **1050 euros**, y se obtiene invirtiendo **9000 euros en el producto A** y **3000 euros en el producto B**.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Inversión A: 9000 €, Inversión B: 3000 €, Beneficio máximo: 1050 €}}$$