Estudio de la tasa de variación del IPC

**a) Aplicar el concepto de límite para estudiar si la función es continua.** Para estudiar la continuidad de la función $f(x)$, debemos analizar los intervalos de definición y el punto donde cambia la expresión analítica ($x = 7$): 1. En el intervalo $[0, 7)$, la función es $f(x) = -0.16x^2 + 1.6x + 3.64$. Al ser una **función polinómica**, es continua en todo su intervalo. 2. En el intervalo $(7, 12]$, la función es $f(x) = \dfrac{3x + 49}{x + 3}$. Esta es una **función racional** cuyo denominador se anula en $x = -3$. Como $x = -3$ no pertenece al intervalo $[7, 12]$, la función es continua en este tramo. 3. Finalmente, debemos estudiar el punto de salto entre ramas: **$x = 7$**.

Para que la función sea continua en $x = 7$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 7^-} f(x) = \lim_{x \to 7^+} f(x) = f(7)$$ **1. Límite por la izquierda ($x \to 7^-$):** Usamos la primera rama: $$\lim_{x \to 7^-} (-0.16x^2 + 1.6x + 3.64) = -0.16(7)^2 + 1.6(7) + 3.64 = -7.84 + 11.2 + 3.64 = 7$$ **2. Límite por la derecha ($x \to 7^+$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to 7^+} \frac{3x + 49}{x + 3} = \frac{3(7) + 49}{7 + 3} = \frac{21 + 49}{10} = \frac{70}{10} = 7$$ **3. Valor de la función en el punto ($f(7)$):** Según la definición (donde está el signo $\le$), usamos la segunda rama: $$f(7) = \frac{3(7) + 49}{7 + 3} = 7$$ Como los límites laterales coinciden y son iguales al valor de la función, concluimos que la función es continua en $x = 7$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en todo su dominio } [0, 12]}$$

**b) Calcular los meses en los que la tasa de variación del IPC fue máxima y mínima. Así como los correspondientes valores máximo y mínimo alcanzados.** Para hallar los extremos (máximos y mínimos), primero derivamos la función por tramos en su dominio $(0, 12)$: **Rama 1 ($0 \le x \lt 7$):** $$f'(x) = -0.32x + 1.6$$ Buscamos puntos críticos igualando a cero: $$-0.32x + 1.6 = 0 \implies 0.32x = 1.6 \implies x = \frac{1.6}{0.32} = 5$$ El valor $x = 5$ pertenece al intervalo $[0, 7)$, por lo que es un **candidato a extremo**.

**Rama 2 ($7 \lt x \le 12$):** Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{3(x + 3) - (3x + 49)(1)}{(x + 3)^2} = \frac{3x + 9 - 3x - 49}{(x + 3)^2} = \frac{-40}{(x + 3)^2}$$ Como el numerador es $-40$ y el denominador $(x+3)^2$ es siempre positivo, la derivada $f'(x) \lt 0$ para todo $x$ en el intervalo $(7, 12]$. Esto significa que en este tramo la función es **siempre decreciente**. 💡 **Tip:** Si una derivada es siempre negativa, la función no tiene máximos ni mínimos relativos en el interior de ese intervalo; los extremos estarán en los bordes.

Analizamos el signo de la derivada en todo el dominio para ver el comportamiento de la función: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0,5) & 5 & (5,7) & 7 & (7,12)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & \text{No der.} & - \end{array}$$ - En $(0, 5)$, $f'(x) \gt 0 \implies$ la función **crece**. - En $(5, 7)$, $f'(x) \lt 0 \implies$ la función **decrece**. - En $(7, 12)$, $f'(x) \lt 0 \implies$ la función **decrece**. Por tanto, existe un **máximo relativo en $x = 5$**.

Para encontrar el máximo y mínimo absolutos en el intervalo cerrado $[0, 12]$, evaluamos la función en los extremos del intervalo, en el punto de cambio de rama y en los puntos críticos hallados: 1. **En el inicio ($x = 0$):** $f(0) = -0.16(0)^2 + 1.6(0) + 3.64 = 3.64$ 2. **En el punto crítico ($x = 5$):** $f(5) = -0.16(5)^2 + 1.6(5) + 3.64 = -4 + 8 + 3.64 = 7.64$ 3. **En el cambio de rama ($x = 7$):** $f(7) = 7$ (ya calculado en el apartado anterior). 4. **En el final ($x = 12$):** $f(12) = \frac{3(12) + 49}{12 + 3} = \frac{36 + 49}{15} = \frac{85}{15} \approx 5.67$ Comparando los valores: - El valor más alto es $7.64$ en $x = 5$. - El valor más bajo es $3.64$ en $x = 0$.

La tasa de variación máxima fue de **7.64** alcanzada en el **mes 5**. La tasa de variación mínima fue de **3.64** alcanzada en el **mes 0** (comienzo de año). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } (5, 7.64) \quad \text{Mínimo: } (0, 3.64)}$$