Optimización y beneficios en una panificadora

**a) ¿Qué cantidad de masa se debe elaborar para obtener un beneficio de 50 euros?** Para resolver este apartado, debemos igualar la función de beneficios $f(x)$ a la cantidad de beneficio deseada, que en este caso es $50$ euros. Por tanto, planteamos la ecuación: $$f(x) = 50 \implies -x^2 + 25x - 100 = 50$$ Pasamos todos los términos a un lado de la igualdad para obtener una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$: $$-x^2 + 25x - 100 - 50 = 0$$ $$-x^2 + 25x - 150 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar los cálculos: $$x^2 - 25x + 150 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para resolver una ecuación de segundo grado usamos la fórmula $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Aplicamos la fórmula cuadrática a $x^2 - 25x + 150 = 0$: $$x = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$x = \frac{25 \pm 5}{2}$$ Obtenemos dos posibles soluciones: 1. $x_1 = \dfrac{25 + 5}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$ kg. 2. $x_2 = \dfrac{25 - 5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ kg. Ambas cantidades son válidas ya que son positivas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben elaborar 10 kg o 15 kg de masa}}$$

**b) Calcular la cantidad de kilogramos de masa que se ha de vender para obtener el beneficio máximo.** El beneficio máximo se encuentra en los puntos críticos de la función, donde la derivada es igual a cero ($f'(x) = 0$). Derivamos la función $f(x) = -x^2 + 25x - 100$: $$f'(x) = -2x + 25$$ Igualamos la derivada a cero para hallar el valor de $x$: $$-2x + 25 = 0 \implies 2x = 25 \implies x = \frac{25}{2} = 12.5\text{ kg}$$ 💡 **Tip:** En una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$, si $a \lt 0$, el vértice de la parábola siempre representa un máximo absoluto.

Para confirmar que $x = 12.5$ es un máximo, utilizamos la segunda derivada: $$f''(x) = -2$$ Como $f''(12.5) = -2 \lt 0$, la función presenta un máximo relativo en ese punto. También podemos observar el signo de la primera derivada en torno al punto crítico: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 12.5) & 12.5 & (12.5, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben vender 12.5 kg de masa para obtener el beneficio máximo}}$$

**c) Calcular las cantidades de masa que se han de vender para no tener pérdidas.** No tener pérdidas significa que el beneficio debe ser mayor o igual a cero: $f(x) \ge 0$. Para ello, primero buscamos los puntos de equilibrio donde el beneficio es nulo ($f(x) = 0$): $$-x^2 + 25x - 100 = 0$$ Aplicamos de nuevo la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-100)}}{2 \cdot (-1)}$$ $$x = \frac{-25 \pm \sqrt{625 - 400}}{-2} = \frac{-25 \pm \sqrt{225}}{-2} = \frac{-25 \pm 15}{-2}$$ Obtenemos los puntos de corte con el eje $X$: 1. $x_1 = \dfrac{-25 + 15}{-2} = \dfrac{-10}{-2} = 5$ kg. 2. $x_2 = \dfrac{-25 - 15}{-2} = \dfrac{-40}{-2} = 20$ kg. 💡 **Tip:** Al ser una parábola cóncava (hacia abajo), los valores positivos de la función se encuentran entre las dos raíces.

Analizamos el signo de $f(x)$ en los intervalos definidos por las raíces $x=5$ y $x=20$: - Si $x \in (0, 5)$, por ejemplo $x=1$: $f(1) = -1 + 25 - 100 = -76 \lt 0$ (pérdidas). - Si $x \in (5, 20)$, por ejemplo $x=10$: $f(10) = -100 + 250 - 100 = 50 \gt 0$ (beneficios). - Si $x \gt 20$, por ejemplo $x=21$: $f(21) = -(21)^2 + 25(21) - 100 = -441 + 525 - 100 = -16 \lt 0$ (pérdidas). Por tanto, para que el beneficio sea no negativo ($f(x) \ge 0$), la producción debe estar comprendida entre $5$ kg y $20$ kg inclusive. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben vender entre 5 kg y 20 kg de masa inclusive, es decir, } x \in [5, 20]}$$