Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Calcular el intervalo de confianza al 95 % del número medio de pulsaciones por minuto en dicha población.** Primero, extraemos la información proporcionada por el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Media muestral: $\bar{x} = 75$ - Desviación típica poblacional (asumida a partir de la muestra por ser $n$ grande): $\sigma = 9$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Como el tamaño de la muestra es grande ($n \gt 30$), por el Teorema Central del Límite, la distribución de la media muestral sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ 💡 **Tip:** En problemas de inferencia para la media, si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, podemos utilizar la normal incluso si desconocemos la distribución de la población original.

Para un nivel de confianza del $95 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Hallamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la distribución normal, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ para el $90 \%$, $1.96$ para el $95 \%$ y $2.575$ para el $99 \%$.

El error máximo admisible se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los datos: $$E = 1.96 \cdot \frac{9}{\sqrt{400}} = 1.96 \cdot \frac{9}{20} = 1.96 \cdot 0.45 = 0.882$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (75 - 0.882, 75 + 0.882) = (74.118, 75.882)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (74.118, 75.882)}$$

**b) ¿Qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de personas entre 20 y 30 años para obtener, con un nivel de confianza del 99 %, un error máximo admisible de 0.88 en la estimación de la media?** En este apartado, cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$. - Error máximo: $E \le 0.88$. - Desviación típica: $\sigma = 9$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.01}{2} = 1 - 0.005 = 0.995$$ Buscando en la tabla de la normal, el valor exacto para $0.995$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$, solemos usar el punto medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Algunos profesores aceptan $2.57$ o $2.58$, pero el valor más preciso usado habitualmente es $2.575$.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \left( \frac{2.575 \cdot 9}{0.88} \right)^2 = \left( \frac{23.175}{0.88} \right)^2 \approx (26.3352)^2 \approx 693.543$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error sea **como máximo** $0.88$, siempre debemos **redondear al alza** al entero siguiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 694\text{ personas}}$$