Probabilidad en las modalidades de Bachillerato

Para resolver este problema, primero debemos definir los sucesos que intervienen y organizar la información que nos da el enunciado. Definimos los sucesos según el género: - $M$: La persona elegida es mujer. - $H$: La persona elegida es hombre. Definimos los sucesos según la modalidad de estudio: - $HSS$: Humanidades y Ciencias Sociales. - $CT$: Ciencia y Tecnología. - $A$: Artes. Del enunciado extraemos las probabilidades directas: - $P(M) = 53.7\% = 0.537$ - Dado que solo hay hombres y mujeres en el estudio, $P(H) = 1 - 0.537 = 0.463$ Ahora extraemos las **probabilidades condicionadas**: **Para las mujeres ($M$):** - $P(HSS|M) = 49.1\% = 0.491$ - $P(CT|M) = 43.6\% = 0.436$ - $P(A|M) = 7.3\% = 0.073$ **Para los hombres ($H$):** - $P(HSS|H) = 43.2\% = 0.432$ - $P(CT|H) = 52.5\% = 0.525$ - $P(A|H) = 1 - (0.432 + 0.525) = 0.043$ (puesto que el resto estudia Artes).

Un árbol de probabilidad es la mejor herramienta para visualizar estos experimentos compuestos. En la primera rama dividimos por género y en la segunda por modalidad.

**a) Si se elige una persona al azar que estudia bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que estudie una modalidad de Ciencia y Tecnología?** Para calcular la probabilidad total de que alguien estudie $CT$, debemos sumar las probabilidades de que sea mujer y estudie $CT$ y de que sea hombre y estudie $CT$. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(CT) = P(M) \cdot P(CT|M) + P(H) \cdot P(CT|H)$$ Sustituimos los valores: $$P(CT) = (0.537 \cdot 0.436) + (0.463 \cdot 0.525)$$ $$P(CT) = 0.234132 + 0.243075$$ $$P(CT) = 0.477207$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad total es la suma de los productos de las ramas que terminan en el suceso deseado (en este caso, $CT$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(CT) = 0.4772}$$ (La probabilidad es de un **47.72 %**).

**b) Sabiendo que la persona que estudia bachillerato elegida sigue una formación en Ciencia y Tecnología, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?** Se trata de una probabilidad a posteriori, ya que sabemos que se ha cumplido la condición (estudiar $CT$). Utilizaremos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(M|CT) = \frac{P(M \cap CT)}{P(CT)} = \frac{P(M) \cdot P(CT|M)}{P(CT)}$$ Utilizamos los datos calculados en el apartado anterior: - Numerador: $P(M \cap CT) = 0.537 \cdot 0.436 = 0.234132$ - Denominador: $P(CT) = 0.477207$ Realizamos la división: $$P(M|CT) = \frac{0.234132}{0.477207} \approx 0.490628$$ 💡 **Tip:** En Bayes, el numerador siempre es uno de los sumandos que usaste en el denominador del paso anterior (la probabilidad total). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|CT) \approx 0.4906}$$ (Existe una probabilidad del **49.06 %** de que sea mujer).