Cálculo de un parámetro en un producto matricial

Para resolver el ejercicio, primero debemos obtener la matriz traspuesta de $M$. La matriz dada es una matriz fila de dimensión $1 \times 3$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \end{pmatrix}$$ La traspuesta de una matriz se obtiene cambiando sus filas por columnas. En este caso, al ser una matriz fila, su traspuesta $M^t$ será una matriz columna de dimensión $3 \times 1$: $$M^t = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una matriz tiene dimensión $m \times n$, su traspuesta tendrá dimensión $n \times m$.

Ahora realizamos el producto de la matriz $M$ por su traspuesta $M^t$. Al multiplicar una matriz $1 \times 3$ por una $3 \times 1$, el resultado será una matriz de dimensión $1 \times 1$ (un escalar). Multiplicamos los elementos correspondientes y los sumamos: $$M \cdot M^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ m \end{pmatrix} = (1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) + (m \cdot m)$$ Operamos los términos: $$M \cdot M^t = 1 + 4 + m^2 = 5 + m^2$$ 💡 **Tip:** El producto de una matriz fila por su traspuesta siempre da como resultado la suma de los cuadrados de sus elementos.

El enunciado nos indica que el resultado de este producto debe ser igual a $9$. Por tanto, igualamos la expresión obtenida al valor dado: $$5 + m^2 = 9$$ Despejamos $m^2$ restando $5$ en ambos lados de la ecuación: $$m^2 = 9 - 5$$ $$m^2 = 4$$ Para hallar $m$, calculamos la raíz cuadrada de $4$. No debemos olvidar que existen dos soluciones posibles (positiva y negativa): $$m = \pm \sqrt{4}$$ $$m = \pm 2$$ Esto significa que hay dos valores de $m$ que cumplen la condición: **$m = 2$** y **$m = -2$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{m = 2, \quad m = -2}$$