Cálculo de área bajo una parábola

Para calcular el área de un recinto limitado por una función y el eje de abscisas (eje $X$), el primer paso es identificar si la función corta al eje dentro del intervalo de integración, que en este caso viene dado por las rectas $x = -1$ y $x = 2$. Buscamos los puntos de corte de $f(x) = x^2 - 6x + 9$ con el eje $X$ haciendo $f(x) = 0$: $$x^2 - 6x + 9 = 0$$ Observamos que es una identidad notable: $(x-3)^2 = 0$. Resolviendo, obtenemos una raíz única: $$x = 3$$ Como el valor $x = 3$ no pertenece al intervalo $[-1, 2]$, la función **no corta al eje de abscisas en el interior de la región de estudio**. Esto significa que la función mantiene el mismo signo en todo el intervalo. 💡 **Tip:** Si la función hubiera cortado al eje entre $-1$ y $2$, tendríamos que haber dividido la integral en dos partes para evitar que las áreas positiva y negativa se cancelen.

Comprobamos el signo de la función en el intervalo $[-1, 2]$. Como $f(x) = (x-3)^2$ es un cuadrado perfecto, sabemos que $f(x) \ge 0$ para cualquier valor de $x$. Podemos confirmar evaluando un punto cualquiera, por ejemplo $x = 0$: $$f(0) = 0^2 - 6(0) + 9 = 9 > 0$$ Al ser la función positiva en todo el intervalo, el área buscada coincide directamente con la integral definida: $$\text{Área} = \int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es un valor positivo. Si la función estuviera por debajo del eje X, el resultado de la integral sería negativo y tendríamos que tomar el valor absoluto.

Calculamos primero la integral indefinida (la primitiva) aplicando las reglas básicas de integración: $$\int (x^2 - 6x + 9) \, dx = \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 9x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $x = 2$ y $x = -1$: $$\text{Área} = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 2$): $$F(2) = \frac{2^3}{3} - 3(2^2) + 9(2) = \frac{8}{3} - 12 + 18 = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8 + 18}{3} = \frac{26}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = -1$): $$F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 9(-1) = -\frac{1}{3} - 3 - 9 = -\frac{1}{3} - 12 = \frac{-1 - 36}{3} = -\frac{37}{3}$$ Restamos ambos valores: $$\text{Área} = F(2) - F(-1) = \frac{26}{3} - \left( -\frac{37}{3} \right) = \frac{26 + 37}{3} = \frac{63}{3} = 21$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es la primitiva. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 21 \text{ unidades}^2}$$