Cálculo de probabilidad condicionada

Para resolver el ejercicio, primero necesitamos conocer la probabilidad del suceso $A$, denotada como $P(A)$. El enunciado nos da la probabilidad del suceso complementario $\bar{A}$: $$P(\bar{A}) = 0.3$$ Sabemos que la suma de la probabilidad de un suceso y su complementario es siempre $1$. Por lo tanto: $$P(A) = 1 - P(\bar{A})$$ $$P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el suceso complementario incluye todo lo que no es el suceso original, por lo que su probabilidad siempre cumple $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. $$\boxed{P(A) = 0.7}$$

Para hallar $P(A/B)$ necesitaremos el valor de $P(B)$. Podemos obtenerlo a partir de la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos en la fórmula: - $P(A \cup B) = 0.8$ - $P(A) = 0.7$ - $P(A \cap B) = 0.2$ $$0.8 = 0.7 + P(B) - 0.2$$ Operamos para despejar $P(B)$: $$0.8 = 0.5 + P(B)$$ $$P(B) = 0.8 - 0.5$$ $$P(B) = 0.3$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la unión es fundamental. Restamos la intersección porque, al sumar $P(A)$ y $P(B)$, los elementos que están en ambos se cuentan dos veces. $$\boxed{P(B) = 0.3}$$

Finalmente, calculamos la probabilidad de $A$ condicionada a $B$ utilizando su definición: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(A/B) = \frac{0.2}{0.3}$$ Para expresar el resultado de forma más exacta, podemos convertir la división de decimales en una fracción: $$P(A/B) = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A/B)$ mide la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo de antemano que ha ocurrido $B$. Por eso dividimos entre la probabilidad de $B$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(A/B) = \frac{2}{3}}$$