Programación lineal: Producción de planchas de acero y aluminio

**a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1.25 puntos)** Primero, definimos las variables de decisión que representan las cantidades a fabricar: - $x$: kilos de planchas de acero fabricados semanalmente. - $y$: kilos de planchas de aluminio fabricados semanalmente. La función objetivo es la función que queremos maximizar, en este caso, el beneficio total ($B$). Según el enunciado, el beneficio es de $45\text{€}$ por kilo de acero y $30\text{€}$ por kilo de aluminio: $$\boxed{B(x, y) = 45x + 30y}$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben representar las cantidades desconocidas que el problema nos pide determinar.

A continuación, traducimos las limitaciones del problema en un sistema de inecuaciones: 1. **Horas de trabajo:** El tiempo total no puede superar las 200 horas. $$4x + 7y \le 200$$ 2. **Gasto de material:** El coste total de material no puede superar los $2088\text{€}$. $$60x + 48y \le 2088$$ Podemos simplificar esta inecuación dividiendo por $12$: $5x + 4y \le 174$. 3. **Producción mínima de acero:** $x \ge 15$. 4. **Producción mínima de aluminio:** $y \ge 10$. Resumiendo, el sistema de restricciones es: $$\begin{cases} 4x + 7y \le 200 \\ 5x + 4y \le 174 \\ x \ge 15 \\ y \ge 10 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** No olvides que $x$ e $y$ deben ser mayores o iguales a cero, aunque en este caso ya vienen limitados por los mínimos de $15$ y $10$ kg.

Para representar el recinto o región factible, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano que cumple la desigualdad. - Recta $r_1$ (trabajo): $4x + 7y = 200$. Pasa por $(50, 0)$ y $(0, 28.57)$. - Recta $r_2$ (material): $5x + 4y = 174$. Pasa por $(34.8, 0)$ y $(0, 43.5)$. - Recta $r_3$ (mín. acero): $x = 15$ (vertical). - Recta $r_4$ (mín. aluminio): $y = 10$ (horizontal). El recinto es el polígono sombreado donde se cumplen todas las condiciones simultáneamente.

Calculamos las coordenadas de los vértices del polígono resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes: - **Vértice A:** Intersección de $x=15$ y $y=10$. $\implies \mathbf{A(15, 10)}$ - **Vértice B:** Intersección de $x=15$ y $4x + 7y = 200$. $4(15) + 7y = 200 \implies 60 + 7y = 200 \implies 7y = 140 \implies y = 20$. $\implies \mathbf{B(15, 20)}$ - **Vértice C:** Intersección de $4x + 7y = 200$ y $5x + 4y = 174$. Multiplicamos la primera por $4$ y la segunda por $7$: $\begin{cases} 16x + 28y = 800 \\ 35x + 28y = 1218 \end{cases}$ Restamos: $19x = 418 \implies x = 22$. Sustituimos $x$: $4(22) + 7y = 200 \implies 88 + 7y = 200 \implies 7y = 112 \implies y = 16$. $\implies \mathbf{C(22, 16)}$ - **Vértice D:** Intersección de $y=10$ y $5x + 4y = 174$. $5x + 4(10) = 174 \implies 5x = 134 \implies x = 26.8$. $\implies \mathbf{D(26.8, 10)}$

**b) Determina cuántos kilos de cada tipo de plancha deben fabricarse para que el beneficio sea máximo. (0.25 puntos)** Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 45x + 30y$ en cada uno de los vértices hallados: - $B(A) = B(15, 10) = 45(15) + 30(10) = 675 + 300 = 975\text{€}$ - $B(B) = B(15, 20) = 45(15) + 30(20) = 675 + 600 = 1275\text{€}$ - $B(C) = B(22, 16) = 45(22) + 30(16) = 990 + 480 = 1470\text{€}$ - $B(D) = B(26.8, 10) = 45(26.8) + 30(10) = 1206 + 300 = 1506\text{€}$ El valor máximo se alcanza en el vértice $D(26.8, 10)$. 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el máximo (o mínimo) se encuentra siempre en un vértice de la región factible o en un segmento de su frontera. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Deben fabricarse 26.8 kg de acero y 10 kg de aluminio para un beneficio máximo de 1506€}}$$