Sistema de ecuaciones: Cantidad de agua embalsada

**a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de agua hay embalsada en cada embalse. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representarán la cantidad de agua (en $\text{hm}^3$) en cada uno de los tres embalses: - $x$: Cantidad de agua en el embalse **Torre de Abraham**. - $y$: Cantidad de agua en el embalse **Gasset**. - $z$: Cantidad de agua en el embalse **Azután**. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. La suma total es $156 \text{ hm}^3$: $x + y + z = 156$ 2. El agua en Azután ($z$) es el doble de la diferencia entre Torre de Abraham ($x$) y Gasset ($y$): $z = 2(x - y)$ 3. Gasset ($y$) contiene un tercio de lo que contiene Azután ($z$): $y = \dfrac{1}{3}z$ 💡 **Tip:** Al definir variables, asegúrate siempre de especificar las unidades (en este caso, $\text{hm}^3$) para que la interpretación final sea correcta.

Para facilitar la resolución, vamos a ordenar las ecuaciones de la forma estándar $Ax + By + Cz = D$: 1. $x + y + z = 156$ 2. $z = 2x - 2y \implies -2x + 2y + z = 0$ 3. $y = \dfrac{z}{3} \implies 3y - z = 0$ El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 156 \\ -2x + 2y + z = 0 \\ 3y - z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Dado que la tercera ecuación relaciona directamente dos variables, el método de **sustitución** es muy eficiente aquí. De la tercera ecuación, despejamos $z$: $$3y - z = 0 \implies z = 3y$$ Ahora sustituimos $z = 3y$ en las otras dos ecuaciones: **En la primera ecuación:** $x + y + (3y) = 156 \implies x + 4y = 156 \implies x = 156 - 4y$ **En la segunda ecuación:** $-2x + 2y + (3y) = 0 \implies -2x + 5y = 0$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es ideal cuando una de las variables ya está casi despejada o cuando hay ceros en los términos independientes de las ecuaciones.

Ahora sustituimos la expresión de $x$ ($x = 156 - 4y$) en la ecuación resultante de la segunda: $$-2(156 - 4y) + 5y = 0$$ $$-312 + 8y + 5y = 0$$ $$13y = 312$$ $$y = \frac{312}{13} = 24$$ Una vez obtenido el valor de $y$, calculamos $x$ y $z$: - Para $x$: $x = 156 - 4(24) = 156 - 96 = 60$ - Para $z$: $z = 3(24) = 72$ 💡 **Tip:** Para dividir $312/13$ sin calculadora, puedes ver que $13 \cdot 2 = 26$, restas y sigues con el resto ($52$), donde $13 \cdot 4 = 52$.

Finalmente, indicamos las cantidades obtenidas para cada embalse asegurándonos de incluir las unidades: - Embalse de Torre de Abraham: **$60 \text{ hm}^3$** - Embalse de Gasset: **$24 \text{ hm}^3$** - Embalse de Azután: **$72 \text{ hm}^3$** **Comprobación:** 1. Suma: $60 + 24 + 72 = 156$ (Correcto) 2. Azután vs Diferencia: $72 = 2(60 - 24) = 2(36) = 72$ (Correcto) 3. Gasset vs Azután: $24 = 72/3$ (Correcto) ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 60, y = 24, z = 72 \text{ (en } \text{hm}^3)}$$