Análisis de precios de acciones y continuidad

**a) ¿Para qué valor de $c$ el precio de las acciones se comporta de forma continua en $x = c$? (0.5 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x=c$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. $\lim_{x \to c^-} P(x) = P(c)$ 2. $\lim_{x \to c^+} P(x)$ 3. $\lim_{x \to c^-} P(x) = \lim_{x \to c^+} P(x)$ Calculamos los límites laterales en $x=c$: - Límite por la izquierda (rama superior): $$\lim_{x \to c^-} (18x^2 - 100x + 162) = 18c^2 - 100c + 162$$ - Límite por la derecha (rama inferior): $$\lim_{x \to c^+} (-x^3 + 18x^2 - 96x + 162) = -c^3 + 18c^2 - 96c + 162$$ Igualamos ambos resultados para que exista el límite único: $$18c^2 - 100c + 162 = -c^3 + 18c^2 - 96c + 162$$ 💡 **Tip:** Para que no haya saltos entre las ramas, el valor final de la primera debe coincidir con el valor inicial de la segunda.

Simplificamos la ecuación eliminando los términos comunes ($18c^2$ y $162$): $$-100c = -c^3 - 96c$$ $$c^3 - 100c + 96c = 0$$ $$c^3 - 4c = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$c(c^2 - 4) = 0 \implies c(c - 2)(c + 2) = 0$$ Las soluciones posibles son $c = 0$, $c = 2$ y $c = -2$. Dado que el enunciado nos dice que el dominio es de 0 a 10 días y $c$ es un punto de cambio dentro de ese intervalo, el valor coherente es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = 2}$$

**c) Para $c = 2$, determina en qué intervalos de tiempo el precio de las acciones crece y en cuáles decrece a partir del segundo día. (0.5 puntos)** Resolvemos primero el apartado c) ya que nos servirá para identificar los máximos y mínimos del apartado b). Para $x > 2$, la función es $P(x) = -x^3 + 18x^2 - 96x + 162$. Calculamos su derivada para estudiar el crecimiento: $$P'(x) = -3x^2 + 36x - 96$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-3x^2 + 36x - 96 = 0$$ Dividimos entre $-3$ para simplificar: $$x^2 - 12x + 32 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}$$ Obtenemos los valores **$x = 4$** y **$x = 8$**. 💡 **Tip:** El signo de la derivada nos indica si la función sube (+) o baja (-).

Estudiamos el signo de $P'(x)$ en el intervalo $[2, 10]$ usando los puntos críticos hallados: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (2, 4) & 4 & (4, 8) & 8 & (8, 10)\\\hline P'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\\hline \text{Comportamiento} & \text{Decrece} & \min & \text{Crece} & \max & \text{Decrece} \end{array}$$ Interpretación: - En $(2, 4)$: $P'(3) = -3(3)^2 + 36(3) - 96 = -27 + 108 - 96 = -15 < 0$ (**Decreciente**). - En $(4, 8)$: $P'(6) = -3(6)^2 + 36(6) - 96 = -108 + 216 - 96 = 12 > 0$ (**Creciente**). - En $(8, 10)$: $P'(9) = -3(9)^2 + 36(9) - 96 = -243 + 324 - 96 = -15 < 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crece en: } (4, 8) \quad \text{Decrece en: } (2, 4) \cup (8, 10)}$$

**b) Para $c = 2$, ¿cuándo se tienen los precios máximo y mínimo de las acciones a partir del segundo día? (0.5 puntos)** Evaluamos la función $P(x)$ en los extremos del intervalo $[2, 10]$ y en los puntos críticos $x=4$ y $x=8$: - $P(2) = -(2)^3 + 18(2)^2 - 96(2) + 162 = -8 + 72 - 192 + 162 = 34$ - $P(4) = -(4)^3 + 18(4)^2 - 96(4) + 162 = -64 + 288 - 384 + 162 = 2$ - $P(8) = -(8)^3 + 18(8)^2 - 96(8) + 162 = -512 + 1152 - 768 + 162 = 34$ - $P(10) = -(10)^3 + 18(10)^2 - 96(10) + 162 = -1000 + 1800 - 960 + 162 = 2$ Comparando los valores: - El valor máximo es **34 €**, que ocurre en los días **$x=2$** y **$x=8$**. - El valor mínimo es **2 €**, que ocurre en los días **$x=4$** y **$x=10$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximos: días 2 y 8. Mínimos: días 4 y 10.}}$$