Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para resolver este ejercicio, debemos traducir la información del enunciado en ecuaciones matemáticas. Tenemos tres incógnitas ($a$, $b$ y $c$), por lo que necesitaremos tres condiciones. La función es: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + c$$ Como el problema habla de una recta tangente, necesitaremos la derivada de la función: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia $x^n$, el exponente baja multiplicando y se resta uno al exponente: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. La derivada de una constante es cero.

El enunciado indica que la función pasa por el punto $(0, 3)$. Esto significa que cuando $x = 0$, la función vale $y = 3$, es decir, $f(0) = 3$. Sustituimos en la expresión de $f(x)$: $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c = 3$$ $$0 + 0 + c = 3$$ De aquí obtenemos directamente el valor de **$c$**: $$\boxed{c = 3}$$ 💡 **Tip:** Siempre que una función pase por un punto $(x_0, y_0)$, se cumple que $f(x_0) = y_0$.

El enunciado dice que la recta tangente lo es en el punto $(1, 8)$. Esto implica dos cosas importantes: 1. El punto $(1, 8)$ pertenece a la función: **$f(1) = 8$**. 2. La pendiente de la recta tangente en ese punto es igual a la derivada en ese punto: **$f'(1) = m$**. Usamos la primera información ($f(1) = 8$): $$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c = 8$$ $$a + b + c = 8$$ Como ya sabemos que $c = 3$, sustituimos: $$a + b + 3 = 8 \implies a + b = 5$$ Obtenemos nuestra primera ecuación con $a$ y $b$: $$\boxed{a + b = 5}$$

La recta tangente en el punto $(1, 8)$ es $y = 2x + 6$. En la ecuación de una recta de la forma $y = mx + n$, el coeficiente de la $x$ es la pendiente. Por tanto, la pendiente de nuestra recta tangente es **$m = 2$**. Sabemos que la pendiente de la recta tangente en $x = 1$ coincide con el valor de la derivada en ese punto: $$f'(1) = 2$$ Sustituimos $x = 1$ en la derivada $f'(x) = 3ax^2 + 2bx$: $$f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) = 2$$ $$3a + 2b = 2$$ Obtenemos nuestra segunda ecuación con $a$ y $b$: $$\boxed{3a + 2b = 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto $x = a$ es siempre $f'(a)$.

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a + 2b = 2 \end{cases}$$ Podemos resolverlo por el método de sustitución. De la primera ecuación despejamos $b$: $$b = 5 - a$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$3a + 2(5 - a) = 2$$ $$3a + 10 - 2a = 2$$ $$a + 10 = 2$$ $$a = 2 - 10$$ $$\boxed{a = -8}$$ Ahora calculamos $b$ sustituyendo el valor de $a$: $$b = 5 - (-8) = 5 + 8$$ $$\boxed{b = 13}$$ 💡 **Tip:** Para resolver sistemas, puedes usar sustitución, igualación o reducción. Elige siempre el que parezca más rápido.

Reuniendo todos los valores obtenidos, los parámetros de la función son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -8, \; b = 13, \; c = 3}$$ La función buscada es $f(x) = -8x^3 + 13x^2 + 3$.