Probabilidad de reparaciones y cobertura de seguros

**a) Elegido un vehículo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la reparación no la pague el seguro? (0.75 puntos)** Primero, definimos los sucesos del problema basándonos en el tipo de vehículo y si el seguro paga la reparación: - $M$: La reparación es de una **moto**. - $C$: La reparación es de un **coche**. - $F$: La reparación es de una **furgoneta**. - $S$: La reparación **la paga el seguro**. - $\bar{S}$: La reparación **no la paga el seguro** (suceso contrario). Calculamos la probabilidad de las furgonetas, ya que es "el resto": $P(F) = 1 - (P(M) + P(C)) = 1 - (0.10 + 0.70) = 0.20$. Representamos la información en un **árbol de probabilidad**: 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. Por ejemplo, si el seguro paga el 20% de las motos ($P(S|M)=0.2$), el 80% restante no las paga ($P(\bar{S}|M)=0.8$).

Para calcular la probabilidad de que la reparación no la pague el seguro, $P(\bar{S})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de llegar al suceso $\bar{S}$ a través de cada tipo de vehículo: $$P(\bar{S}) = P(M) \cdot P(\bar{S}|M) + P(C) \cdot P(\bar{S}|C) + P(F) \cdot P(\bar{S}|F)$$ Sustituimos los valores obtenidos del enunciado y del árbol: $$P(\bar{S}) = 0.1 \cdot 0.8 + 0.7 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.15$$ $$P(\bar{S}) = 0.08 + 0.28 + 0.03$$ $$P(\bar{S}) = 0.39$$ La probabilidad de que la reparación no la pague el seguro es del $39\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S}) = 0.39}$$

**b) Si se sabe que una reparación la ha pagado el seguro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de una moto? (0.75 puntos)** Se trata de una probabilidad a posteriori, ya que conocemos el resultado final (el seguro paga) y queremos saber el origen (moto). Calculamos $P(M|S)$ usando el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(M|S) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)} = \frac{P(M) \cdot P(S|M)}{P(S)}$$ Primero necesitamos $P(S)$. Como sabemos que $P(\bar{S}) = 0.39$, usamos el suceso contrario: $$P(S) = 1 - P(\bar{S}) = 1 - 0.39 = 0.61$$ Ahora aplicamos Bayes: $$P(M|S) = \frac{0.1 \cdot 0.2}{0.61} = \frac{0.02}{0.61}$$ $$P(M|S) = \frac{2}{61} \approx 0.0328$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" dado un "efecto". En el numerador ponemos la rama específica que nos interesa y en el denominador la probabilidad total del efecto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|S) = \frac{2}{61} \approx 0.0328}$$