Probabilidad y Estadística 2024 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalo de confianza y error máximo
Las horas de sueño de la población adolescente española sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 4 \text{ horas}^2$. Se ha tomado una muestra de 12 adolescentes y las horas de sueño registradas han sido 6.5, 8.4, 9.6, 7.4, 7.1, 6.8, 8.8, 8.3, 8.0, 7.1, 7.8 y 9.0 horas.
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de las horas de sueño con un nivel de confianza del 95.96 %. (1 punto)
b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de 64 adolescentes y un nivel de confianza del 96.52 %? (1 punto)
| z | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2.0 | 0.9772 | 0.9778 | 0.9783 | 0.9788 | 0.9793 | 0.9798 | 0.9803 | 0.9808 | 0.9812 | 0.9817 |
| 2.1 | 0.9821 | 0.9826 | 0.9830 | 0.9834 | 0.9838 | 0.9842 | 0.9846 | 0.9850 | 0.9854 | 0.9857 |
Paso 1
Identificación de los parámetros poblacionales
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de las horas de sueño con un nivel de confianza del 95.96 %. (1 punto)**
Primero, definimos la variable aleatoria $X$: "horas de sueño de un adolescente". El enunciado nos dice que sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$.
Nos dan la varianza poblacional $\sigma^2 = 4$. Para las fórmulas del intervalo de confianza, necesitamos la desviación típica $\sigma$:
$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{4} = 2 \text{ horas}.$$
💡 **Tip:** Recuerda que en los problemas de inferencia, la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Paso 2
Cálculo de la media muestral
Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos la media de los datos proporcionados para la muestra de $n = 12$ adolescentes:
$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{6.5 + 8.4 + 9.6 + 7.4 + 7.1 + 6.8 + 8.8 + 8.3 + 8.0 + 7.1 + 7.8 + 9.0}{12}$$
Calculamos el sumatorio:
$$\sum x_i = 94.8$$
Obtenemos la media muestral:
$$\bar{x} = \frac{94.8}{12} = 7.9 \text{ horas}.$$
$$\boxed{\bar{x} = 7.9}$$
Paso 3
Determinación del valor crítico $z_{\alpha/2}$
El nivel de confianza es del $95.96\%$, por lo que $1 - \alpha = 0.9596$.
Calculamos $\alpha$:
$$\alpha = 1 - 0.9596 = 0.0404$$
Dividimos $\alpha$ por dos para obtener el área de cada cola:
$$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.0404}{2} = 0.0202$$
Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$:
$$1 - 0.0202 = 0.9798$$
Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$ proporcionada, el valor de probabilidad $0.9798$ corresponde a la fila **2.0** y la columna **0.05**.
Por lo tanto:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.05}$$
💡 **Tip:** El nivel de confianza $1-\alpha$ representa el área central. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ deja un área de $\alpha/2$ a su derecha.
Paso 4
Cálculo del intervalo de confianza
La fórmula del intervalo de confianza para la media es:
$$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$
Sustituimos los valores conocidos:
- $\bar{x} = 7.9$
- $z_{\alpha/2} = 2.05$
- $\sigma = 2$
- $n = 12$
Calculamos el error máximo admisible $E$:
$$E = 2.05 \cdot \frac{2}{\sqrt{12}} = 2.05 \cdot \frac{2}{3.4641} = 2.05 \cdot 0.57735 \approx 1.1836$$
Ahora calculamos los extremos del intervalo:
- Límite inferior: $7.9 - 1.1836 = 6.7164$
- Límite superior: $7.9 + 1.1836 = 9.0836$
✅ **Resultado del apartado a):**
$$\boxed{IC = (6.7164, 9.0836)}$$
Paso 5
Nuevo valor crítico para el nivel de confianza del 96.52 %
**b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de 64 adolescentes y un nivel de confianza del 96.52 %? (1 punto)**
En este nuevo escenario:
- $n = 64$
- $\sigma = 2$ (se mantiene el valor poblacional)
- $1 - \alpha = 0.9652$
Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$:
$$\alpha = 1 - 0.9652 = 0.0348$$
$$\frac{\alpha}{2} = 0.0174$$
$$1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.0174 = 0.9826$$
Buscamos el valor $0.9826$ en la tabla proporcionada. Este valor corresponde a la fila **2.1** y la columna **0.01**.
Por lo tanto:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.11}$$
Paso 6
Cálculo del nuevo error máximo admisible
El error máximo admisible se calcula con la fórmula:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos con los nuevos datos:
$$E = 2.11 \cdot \frac{2}{\sqrt{64}}$$
$$E = 2.11 \cdot \frac{2}{8}$$
$$E = 2.11 \cdot 0.25 = 0.5275$$
💡 **Tip:** Observa que al aumentar el tamaño de la muestra ($n=64$), el error disminuye significativamente respecto al apartado anterior, a pesar de que el nivel de confianza es más exigente.
✅ **Resultado del apartado b):**
$$\boxed{E = 0.5275 \text{ horas}}$$