Sistema de ecuaciones: Inscripción de bebés en Castilla-La Mancha

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántos bebés han sido inscritos con cada uno de los nombres. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de bebés llamados **Alba**. - $y$: número de bebés llamados **Pablo**. - $z$: número de bebés llamados **David**. A continuación, traducimos la información del enunciado a lenguaje algebraico: 1. "72 tienen el nombre de Alba, Pablo o David": $$x + y + z = 72$$ 2. "David coincide con la diferencia entre Pablo y Alba": $$z = y - x \implies x - y + z = 0$$ 3. "Alba es la suma de David y un tercio de Pablo": $$x = z + \frac{1}{3}y$$ Para trabajar sin fracciones, multiplicamos toda la ecuación por $3$: $3x = 3z + y$. Reordenando: $$3x - y - 3z = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear sistemas, es fundamental ordenar las variables ($x, y, z$) en el mismo lado del igual para facilitar el uso de métodos matriciales. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 72 \\ x - y + z = 0 \\ 3x - y - 3z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Utilizaremos el **método de Gauss** para resolver el sistema transformándolo en una matriz: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 72 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -3 & 0 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones elementales en las filas para hacer ceros bajo la diagonal principal: - Para eliminar la $x$ en la segunda fila: $F_2 \leftarrow F_2 - F_1$ - Para eliminar la $x$ en la tercera fila: $F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 72 \\ 0 & -2 & 0 & -72 \\ 0 & -4 & -6 & -216 \end{array}\right)$$ Continuamos con la tercera fila para eliminar la $y$: $F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 72 \\ 0 & -2 & 0 & -72 \\ 0 & 0 & -6 & -72 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Observa que en la segunda fila ya tenemos directamente el valor de $y$, lo que simplifica mucho el cálculo.

A partir de la matriz escalonada, resolvemos de abajo hacia arriba: 1. De la tercera fila ($-6z = -72$): $$z = \frac{-72}{-6} = 12$$ 2. De la segunda fila ($-2y = -72$): $$y = \frac{-72}{-2} = 36$$ 3. De la primera fila ($x + y + z = 72$): $$x + 36 + 12 = 72$$ $$x + 48 = 72 \implies x = 72 - 48 = 24$$ Comprobamos que los resultados tienen sentido (números enteros positivos): - Alba: **24 bebés** - Pablo: **36 bebés** - David: **12 bebés** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 24, \, y = 36, \, z = 12}$$