Potencias de una matriz y relaciones matriciales

**a) Comprueba que $A^2 = 2A - I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. (1 punto)** En primer lugar, calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $A^2 = A \cdot A$. $$A^2 = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: - $5(5) + (-4)(2) + 2(-4) = 25 - 8 - 8 = 9$ - $5(-4) + (-4)(-1) + 2(4) = -20 + 4 + 8 = -8$ - $5(2) + (-4)(1) + 2(-1) = 10 - 4 - 2 = 4$ - Fila 2: - $2(5) + (-1)(2) + 1(-4) = 10 - 2 - 4 = 4$ - $2(-4) + (-1)(-1) + 1(4) = -8 + 1 + 4 = -3$ - $2(2) + (-1)(1) + 1(-1) = 4 - 1 - 1 = 2$ - Fila 3: - $-4(5) + 4(2) + (-1)(-4) = -20 + 8 + 4 = -8$ - $-4(-4) + 4(-1) + (-1)(4) = 16 - 4 - 4 = 8$ - $-4(2) + 4(1) + (-1)(-1) = -8 + 4 + 1 = -3$ Obtenemos: $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila de la primera matriz por los elementos de la columna de la segunda y sumamos los resultados.

Ahora calculamos el segundo miembro de la igualdad, $2A - I$, donde $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$2A - I = 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos la matriz $A$ por el escalar 2: $$2A = \begin{pmatrix} 10 & -8 & 4 \\ 4 & -2 & 2 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix}$$ Restamos la matriz identidad: $$2A - I = \begin{pmatrix} 10-1 & -8 & 4 \\ 4 & -2-1 & 2 \\ -8 & 8 & -2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}$$ Comparando los resultados, vemos que efectivamente coinciden: $$\boxed{A^2 = 2A - I = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}}$$

**b) Usando la fórmula anterior, expresa $A^4$ a partir de las matrices $A$ e $I$ y calcula su valor. (1 punto)** Para expresar $A^4$ sin calcular potencias elevadas directamente, utilizamos la relación $A^2 = 2A - I$. Sabemos que $A^4 = (A^2)^2$: $$A^4 = (2A - I)^2 = (2A - I) \cdot (2A - I)$$ Desarrollamos el producto aplicando la propiedad distributiva (teniendo en cuenta que $AI = IA = A$ e $I^2 = I$): $$A^4 = 4A^2 - 2AI - 2IA + I^2 = 4A^2 - 4A + I$$ Ahora, sustituimos de nuevo $A^2$ por la expresión $2A - I$: $$A^4 = 4(2A - I) - 4A + I = 8A - 4I - 4A + I$$ $$A^4 = 4A - 3I$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con ecuaciones matriciales que involucran la identidad, puedes operar de forma similar a los binomios algebraicos, ya que la matriz identidad conmuta con cualquier matriz cuadrada del mismo orden.

Finalmente, calculamos el valor numérico de la matriz $A^4$ usando la expresión obtenida $A^4 = 4A - 3I$: $$A^4 = 4 \cdot \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por los escalares: $$4A = \begin{pmatrix} 20 & -16 & 8 \\ 8 & -4 & 4 \\ -16 & 16 & -4 \end{pmatrix}, \quad 3I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta elemento a elemento: $$A^4 = \begin{pmatrix} 20-3 & -16-0 & 8-0 \\ 8-0 & -4-3 & 4-0 \\ -16-0 & 16-0 & -4-3 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^4 = \begin{pmatrix} 17 & -16 & 8 \\ 8 & -7 & 4 \\ -16 & 16 & -7 \end{pmatrix}}$$