Probabilidad y Estadística 2024 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalos de confianza para la media
6. En una empresa de telefonía, el número de llamadas al día que reciben de clientes para hacer reclamaciones sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 280$ llamadas. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 días proporcionando una media de 486 llamadas de clientes al día.
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de llamadas con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)
b) Explica, justificando la respuesta, qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra. (0.5 puntos)
c) ¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de llamadas al día es de 500 con un nivel de confianza del 99 %? Justifica la respuesta. (0.5 puntos)
| z | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.8 | 0.9641 | 0.9649 | 0.9656 | 0.9664 | 0.9671 | 0.9678 | 0.9686 | 0.9693 | 0.9699 | 0.9706 |
| 1.9 | 0.9713 | 0.9719 | 0.9726 | 0.9732 | 0.9738 | 0.9744 | 0.9750 | 0.9756 | 0.9761 | 0.9767 |
Paso 1
Identificación de datos y distribución de la media muestral
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de llamadas con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)**
Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado:
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 280$
- Tamaño de la muestra: $n = 100$
- Media muestral: $\bar{x} = 486$
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$
Como la población original sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ sigue una distribución normal:
$$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$
En este caso:
$$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{280}{\sqrt{100}}\right) = N(\mu, 28)$$
💡 **Tip:** Recuerda que para construir un intervalo de confianza para la media con $\sigma$ conocida, usamos la fórmula: $I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$.
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 95 %
Para un nivel de confianza del $95 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$
2. $\alpha/2 = 0.025$
3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$.
Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ proporcionada:
Buscamos el valor $0.9750$ en el interior de la tabla. Vemos que corresponde a la fila $1.9$ y a la columna $0.06$.
Por tanto:
$$z_{\alpha/2} = 1.96$$
✅ **Valor crítico:**
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$
Paso 3
Cálculo del intervalo de confianza al 95 %
Calculamos el error máximo admisible $E$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{280}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot 28 = 54.88$$
El intervalo de confianza será:
$$I.C. = (486 - 54.88, \; 486 + 54.88) = (431.12, \; 540.88)$$
✅ **Resultado del apartado a):**
$$\boxed{I.C._{95\%} = (431.12, \; 540.88)}$$
Paso 4
Efecto del tamaño de la muestra en la amplitud
**b) Explica, justificando la respuesta, qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra. (0.5 puntos)**
La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es la diferencia entre el extremo superior y el inferior, lo que equivale a dos veces el error:
$$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Si mantenemos el mismo nivel de confianza ($z_{\alpha/2}$ constante) y aumentamos el tamaño de la muestra ($n$):
1. El valor de $\sqrt{n}$ aumenta.
2. Al estar $n$ en el denominador, el cociente $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ disminuye.
3. Por lo tanto, la amplitud $A$ **disminuye**.
**Conclusión:** Al aumentar el tamaño de la muestra, el intervalo se vuelve más estrecho, lo que significa que la estimación de la media poblacional es **más precisa**.
✅ **Respuesta:**
$$\boxed{\text{La amplitud disminuye (el intervalo se estrecha)}}$$
Paso 5
Análisis de la afirmación para $\mu = 500$ al 99 %
**c) ¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de llamadas al día es de 500 con un nivel de confianza del 99 %? Justifica la respuesta. (0.5 puntos)**
Para comprobar si se acepta la afirmación $\mu = 500$, debemos construir el intervalo de confianza al $99 \%$ y observar si el valor $500$ pertenece a dicho intervalo.
1. Para un nivel de confianza del $99 \%$: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$.
2. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.9950$.
3. Aunque este valor no aparece en la tabla corta adjunta, es un valor estándar conocido en Bachillerato: $z_{\alpha/2} = 2.575$ (o $2.58$).
Calculamos el nuevo error:
$$E = 2.575 \cdot \frac{280}{\sqrt{100}} = 2.575 \cdot 28 = 72.1$$
Construimos el intervalo al $99 \%$:
$$I.C._{99\%} = (486 - 72.1, \; 486 + 72.1) = (413.9, \; 558.1)$$
Como el valor propuesto $\mu = 500$ **se encuentra dentro** del intervalo $(413.9, 558.1)$:
✅ **Conclusión:**
$$\boxed{\text{Sí, se puede aceptar la afirmación porque 500 pertenece al intervalo de confianza.}}$$