Continuidad y representación de una función a trozos

**a) ¿Existe algún valor de $t$ para el que el rendimiento económico del fármaco sea continuo en $x = 5$? (0.75 puntos)** Para que la función $R(x)$ sea continua en el punto de salto entre intervalos $x = 5$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $R(5)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a 5: $\lim_{x \to 5} R(x)$. 3. Que ambos valores coincidan. En la práctica, esto significa que los límites laterales deben ser iguales al valor de la función: $$\lim_{x \to 5^-} R(x) = \lim_{x \to 5^+} R(x) = R(5)$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, la continuidad en un punto $x=a$ requiere que las ramas "encajen" perfectamente, es decir, que no haya un salto en el dibujo de la gráfica.

Calculamos los límites laterales utilizando las ramas correspondientes: **Límite por la izquierda ($x \to 5^-$):** Usamos la segunda rama $(5+t)x - 1$ $$\lim_{x \to 5^-} R(x) = (5+t) \cdot 5 - 1 = 25 + 5t - 1 = 24 + 5t.$$ **Límite por la derecha ($x \to 5^+$):** Usamos la tercera rama $-(x+t)^2 + (14+t)x - 30$ $$\lim_{x \to 5^+} R(x) = -(5+t)^2 + (14+t) \cdot 5 - 30$$ Desarrollamos el binomio y operamos: $$\lim_{x \to 5^+} R(x) = -(25 + 10t + t^2) + 70 + 5t - 30$$ $$\lim_{x \to 5^+} R(x) = -25 - 10t - t^2 + 70 + 5t - 30 = -t^2 - 5t + 15.$$ Como $x=5$ está incluido en el segundo intervalo ($2 \lt x \le 5$), el valor de la función es $R(5) = 24 + 5t$.

Igualamos ambos límites para asegurar la continuidad: $$24 + 5t = -t^2 - 5t + 15$$ Pasamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$t^2 + 5t + 5t + 24 - 15 = 0$$ $$t^2 + 10t + 9 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$t = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$t = \frac{-10 \pm 8}{2}$$ Esto nos da dos valores posibles: 1. $t_1 = \frac{-10 + 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ 2. $t_2 = \frac{-10 - 8}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existen dos valores de } t \text{ que hacen la función continua: } t = -1 \text{ y } t = -9}$$

**b) Representa gráficamente el rendimiento económico del fármaco para $t = 0$. (0.75 puntos)** Sustituimos $t = 0$ en la función original para obtener la función que debemos representar: $$R(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 5x - 1 & \text{si } 2 < x \le 5 \\ -x^2 + 14x - 30 & \text{si } 5 < x \le 11 \end{cases}$$ Analicemos cada tramo: 1. **Tramo 1 ($0 \le x \le 2$):** Es un segmento de recta. Puntos: $(0, 4)$ y $(2, 8)$. 2. **Tramo 2 ($2 < x \le 5$):** Es un segmento de recta. Puntos extremos: $(2, 9)$ y $(5, 24)$. Nota que hay un **salto finito** en $x=2$. 3. **Tramo 3 ($5 < x \le 11$):** Es un arco de parábola invertida (porque $a < 0$). 💡 **Tip:** Para representar una parábola, busca siempre el vértice $x_v = \frac{-b}{2a}$ y los valores en los extremos del intervalo.

Para la parábola $R(x) = -x^2 + 14x - 30$ en $(5, 11]$: - **Vértice:** $x_v = \frac{-14}{2(-1)} = 7$. - **Ordenada del vértice:** $R(7) = -(7)^2 + 14(7) - 30 = -49 + 98 - 30 = 19$. El vértice es $(7, 19)$. - **Extremo izquierdo ($x \to 5^+$):** $R(5) = -25 + 70 - 30 = 15$. (Hay un salto desde el 24 del tramo anterior). - **Extremo derecho ($x = 11$):** $R(11) = -121 + 154 - 30 = 3$. A continuación se muestra la representación gráfica: