Estudio de la afluencia de turistas

**a) ¿En qué momento del día se produce una máxima afluencia? ¿Cuál es esa máxima afluencia? (1.25 puntos)** Para encontrar el momento de máxima afluencia, debemos buscar los máximos de la función $P(t) = 432t - t^3$ en el intervalo cerrado $[8, 20]$. El primer paso es calcular su derivada para hallar los puntos críticos. Derivamos la función polinómica: $$P'(t) = \frac{d}{dt}(432t - t^3) = 432 - 3t^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función (buscar máximos o mínimos), el primer paso suele ser igualar su derivada a cero, ya que en los extremos relativos la pendiente de la recta tangente es nula.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $t$ donde la función podría tener un máximo o un mínimo: $$432 - 3t^2 = 0$$ $$3t^2 = 432$$ $$t^2 = \frac{432}{3} = 144$$ $$t = \pm \sqrt{144} = \pm 12$$ Dado que el dominio del problema está restringido al intervalo $[8, 20]$, descartamos el valor negativo $t = -12$ y nos quedamos con: $$t = 12$$ Esto significa que el punto crítico se produce a las **12:00 horas**.

Para confirmar que en $t=12$ hay un máximo, podemos usar el criterio de la segunda derivada: $$P''(t) = -6t$$ Evaluamos en el punto crítico: $$P''(12) = -6(12) = -72$$ Como $P''(12) < 0$, confirmamos que hay un **máximo relativo** en $t=12$. Calculamos ahora el número de visitantes en ese momento sustituyendo en la función original $P(t)$: $$P(12) = 432(12) - (12)^3$$ $$P(12) = 5184 - 1728 = 3456$$ Comparando con los extremos del intervalo ($P(8) = 2944$ y $P(20) = 640$), el valor en $t=12$ es el máximo absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máxima afluencia a las 12:00 h con 3456 turistas}}$$

**b) ¿En qué intervalos de horas sube y en cuáles baja la afluencia de visitantes? (0.75 puntos)** Para determinar cuándo sube (crece) o baja (decrece) la afluencia, analizamos el signo de la derivada $P'(t) = 432 - 3t^2$ en el dominio dado $[8, 20]$, dividiendo el intervalo por el punto crítico $t=12$. $$ \begin{array}{c|ccc} t & (8, 12) & 12 & (12, 20) \\ \hline P'(t) & + & 0 & - \\ \text{Afluencia} & \nearrow \text{ Sube} & \text{Máximo} & \searrow \text{ Baja} \end{array} $$ - En el intervalo $(8, 12)$, tomamos $t=10$: $P'(10) = 432 - 300 = 132 > 0 \implies$ **Sube**. - En el intervalo $(12, 20)$, tomamos $t=15$: $P'(15) = 432 - 3(225) = 432 - 675 = -243 < 0 \implies$ **Baja**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sube entre las 08:00 y las 12:00 h y baja entre las 12:00 y las 20:00 h}}$$