Optimización de la producción de carpetas

**a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1.25 puntos)** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de carpetas de tamaño folio. - $y$: número de carpetas de tamaño cuartilla. La función objetivo representa el beneficio total que queremos maximizar, basándonos en los precios de venta: $$B(x, y) = 2.10x + 1.50y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables con unidades claras y asocia los coeficientes de la función objetivo a los valores monetarios (precios o beneficios).

Para escribir las restricciones, organizamos los datos de consumo de materiales en un sistema de inecuaciones: 1. **Restricción de cartón:** El consumo total no puede superar los $270 \text{ m}^2$. $$0.20x + 0.15y \le 270$$ 2. **Restricción de cinta de goma:** El consumo total no puede superar los 432 m. $$0.30x + 0.27y \le 432$$ 3. **Restricciones de no negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ Para facilitar el dibujo de las rectas, podemos simplificar las inecuaciones multiplicando por 100: - $20x + 15y \le 27000 \implies 4x + 3y \le 5400$ - $30x + 27y \le 43200 \implies 10x + 9y \le 14400$ ✅ **Restricciones:** $$\boxed{\begin{cases} 4x + 3y \le 5400 \\ 10x + 9y \le 14400 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}}$$

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para hallar el recinto o región factible: - Recta $r_1: 4x + 3y = 5400$ - Si $x=0 \implies y=1800 \to (0, 1800)$ - Si $y=0 \implies x=1350 \to (1350, 0)$ - Recta $r_2: 10x + 9y = 14400$ - Si $x=0 \implies y=1600 \to (0, 1600)$ - Si $y=0 \implies x=1440 \to (1440, 0)$ Calculamos el punto de corte entre $r_1$ y $r_2$ mediante un sistema: $$\begin{cases} 4x + 3y = 5400 \\ 10x + 9y = 14400 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-3$: $$-12x - 9y = -16200$$ Sumamos a la segunda: $$-2x = -1800 \implies x = 900$$ Sustituimos $x$ en la primera: $$4(900) + 3y = 5400 \implies 3600 + 3y = 5400 \implies 3y = 1800 \implies y = 600$$ Los vértices del recinto son: **$A(0,0)$**, **$B(0, 1600)$**, **$C(900, 600)$** y **$D(1350, 0)$**.

A continuación se muestra la representación gráfica de la región factible delimitada por las restricciones.

**b) Determina cuántas carpetas de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo. (0.25 puntos)** Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 2.10x + 1.50y$ en cada uno de los vértices del recinto factible: - En $A(0, 0)$: $B(0, 0) = 2.10(0) + 1.50(0) = 0\text{ €}$ - En $B(0, 1600)$: $B(0, 1600) = 2.10(0) + 1.50(1600) = 2400\text{ €}$ - En $C(900, 600)$: $B(900, 600) = 2.10(900) + 1.50(600) = 1890 + 900 = 2790\text{ €}$ - En $D(1350, 0)$: $B(1350, 0) = 2.10(1350) + 1.50(0) = 2835\text{ €}$ Comparando los resultados, el beneficio máximo es de **$2835\text{ €}$**, el cual se alcanza en el punto $D$. 💡 **Tip:** En programación lineal, el valor óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento que une dos vértices si hay soluciones infinitas). ✅ **Resultado final:** Para maximizar el beneficio, la empresa debe fabricar **1350 carpetas de tamaño folio y 0 carpetas de tamaño cuartilla**. $$\boxed{\text{Máximo: } 1350 \text{ folio, } 0 \text{ cuartilla (Beneficio: } 2835\text{€)}}$$