Sistema de ecuaciones: Reparto de medallas

**a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de medallas de cada tipo se reparten. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos hallar: - $x$: número de medallas de **oro**. - $y$: número de medallas de **plata**. - $z$: número de medallas de **bronce**. A continuación, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. "Se reparten un total de 36 medallas": $$x + y + z = 36$$ 2. "El número de medallas de bronce triplica a las de oro": $$z = 3x$$ 3. "Si dos de plata se pasaran a bronce, el bronce duplicaría a la plata": Si pasamos 2 de plata a bronce, las nuevas cantidades serían $y-2$ para plata y $z+2$ para bronce. La relación es: $$z + 2 = 2(y - 2)$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas con cambios de cantidades, asegúrate de aplicar la variación a ambos lados: si quitas 2 de un grupo ($y-2$), debes sumárselos al otro ($z+2$). Organizamos el sistema de ecuaciones lineales: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 36 \\ 3x - z = 0 \\ 2y - z = 6 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Utilizaremos el método de sustitución, ya que la segunda ecuación nos da una relación directa entre $z$ y $x$. 1. De la segunda ecuación tenemos: $$z = 3x$$ 2. Sustituimos $z$ en la tercera ecuación para obtener $y$ en función de $x$: $$2y - 3x = 6 \implies 2y = 3x + 6 \implies y = \frac{3x + 6}{2} = 1,5x + 3$$ 3. Ahora sustituimos $y$ y $z$ en la primera ecuación: $$x + (1,5x + 3) + 3x = 36$$ $$5,5x + 3 = 36$$ $$5,5x = 33$$ $$x = \frac{33}{5,5} = 6$$ Ya tenemos el número de medallas de **oro: $x = 6$**. 💡 **Tip:** Si al resolver un problema de recuento de objetos (como medallas o personas) obtienes un número decimal, revisa el planteamiento, pues el resultado debe ser un número entero natural.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos las demás medallas sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente: - Para las de **bronce ($z$)**: $$z = 3x = 3 \cdot 6 = 18$$ - Para las de **plata ($y$)**: $$y = 1,5x + 3 = 1,5 \cdot 6 + 3 = 9 + 3 = 12$$ **Comprobación:** - Total: $6 + 12 + 18 = 36$ (Correcto). - Bronce triplica oro: $18 = 3 \cdot 6$ (Correcto). - Cambio de plata a bronce: Si la plata pasa de 12 a 10 y el bronce de 18 a 20, efectivamente $20 = 2 \cdot 10$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Oro: } 6, \text{ Plata: } 12, \text{ Bronce: } 18}$$