Rentabilidad de un fondo de inversión

**a) ¿Para qué valores de $t$ la rentabilidad del fondo, $R(x)$, es una función continua en $x = 3$? (0.5 puntos)** Para que la función $R(x)$ sea continua en $x = 3$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista $R(3)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 3} R(x)$. 3. Que ambos valores coincidan. Esto se resume en que los límites laterales y el valor de la función en el punto sean iguales: $$\lim_{x \to 3^-} R(x) = \lim_{x \to 3^+} R(x) = R(3)$$ 💡 **Tip:** En las funciones a trozos, la continuidad en el punto de salto requiere que las "ramas" se encuentren en el mismo valor de $y$.

Calculamos cada parte por separado: **1. Valor de la función y límite por la izquierda ($x \to 3^-$):** Usamos la primera rama $-(x + (t - 3))^2 + (t + 27)$: $$R(3) = \lim_{x \to 3^-} R(x) = -(3 + t - 3)^2 + (t + 27) = -t^2 + t + 27$$ **2. Límite por la derecha ($x \to 3^+$):** Usamos la segunda rama $-\frac{1}{3}x^3 - tx^2 + 5x - 3$: $$\lim_{x \to 3^+} R(x) = -\frac{1}{3}(3)^3 - t(3)^2 + 5(3) - 3 = -9 - 9t + 15 - 3 = -9t + 3$$ **3. Igualamos ambos resultados:** $$-t^2 + t + 27 = -9t + 3$$ $$t^2 - 10t - 24 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-24)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{10 \pm 14}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $t_1 = \frac{24}{2} = 12$ - $t_2 = \frac{-4}{2} = -2$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 12, \quad t = -2}$$

**b) Para $t = -2$, ¿cuándo se tiene la mayor rentabilidad en el fondo a partir del tercer año? (0.5 puntos)** Si $t = -2$, la función para el intervalo $x > 3$ es: $$R(x) = -\frac{1}{3}x^3 - (-2)x^2 + 5x - 3 = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x - 3$$ Para encontrar el máximo (mayor rentabilidad), debemos estudiar la derivada de la función en ese intervalo.

Derivamos $R(x)$ para $x > 3$: $$R'(x) = -x^2 + 4x + 5$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $R'(x) = 0$: $$-x^2 + 4x + 5 = 0 \implies x^2 - 4x - 5 = 0$$ $$(x - 5)(x + 1) = 0$$ Las soluciones son $x = 5$ y $x = -1$. Como estamos estudiando el comportamiento **a partir del tercer año** ($x > 3$), el único punto crítico válido es **$x = 5$**. 💡 **Tip:** Los máximos y mínimos relativos se encuentran donde la derivada se anula, pero siempre debemos comprobar que el valor de $x$ pertenece al intervalo de definición.

**c) Para $t = -2$, determina en qué intervalos de tiempo la rentabilidad del fondo crece y en cuáles decrece a partir del tercer año. (0.5 puntos)** Analizamos el signo de $R'(x) = -x^2 + 4x + 5$ en el dominio $x > 3$, usando el punto crítico $x = 5$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (3, 5) & 5 & (5, +\infty) \\\hline R'(x) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - En $(3, 5)$: Si probamos $x=4$, $R'(4) = -16 + 16 + 5 = 5 > 0$ (**Crece**). - En $(5, +\infty)$: Si probamos $x=6$, $R'(6) = -36 + 24 + 5 = -7 < 0$ (**Decrece**). Como la función crece hasta $x=5$ y decrece a partir de ahí, en $x=5$ se alcanza el máximo absoluto para este tramo. ✅ **Resultado apartado (b):** $$\boxed{\text{La mayor rentabilidad se alcanza a los } x = 5 \text{ años}}$$ ✅ **Resultado apartado (c):** $$\boxed{\text{Crece en } (3, 5) \text{ y decrece en } (5, +\infty)}$$