Cálculo de parámetros en una función polinómica

**2. Dada la función $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx$, encuentra el valor de los parámetros $a, b$ y $c$ sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto $(-1, 0)$ y la ecuación de la recta tangente a la función en $x = 0$ es $y = x$. (1.5 puntos)** Para resolver este problema, debemos traducir la información del enunciado en ecuaciones matemáticas. Tenemos tres parámetros desconocidos ($a, b, c$), por lo que necesitaremos tres condiciones: 1. **El punto $(-1, 0)$ pertenece a la función**: Esto significa que $f(-1) = 0$. 2. **Extremo relativo en $x = -1$**: En un extremo relativo (máximo o mínimo), la derivada primera es cero. Por tanto, $f'(-1) = 0$. 3. **Recta tangente en $x = 0$**: La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto. Si la recta es $y = 1x + 0$, su pendiente es $1$. Por tanto, $f'(0) = 1$. Calculamos primero la derivada general de la función: $$f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ es un extremo relativo, se deben cumplir dos cosas: la función pasa por el punto $f(x_0) = y_0$ y la derivada es nula $f'(x_0) = 0$.

La recta tangente en $x = 0$ es $y = x$. De aquí extraemos que la pendiente $m$ es $1$. Sabemos que $f'(0) = m$, por lo que: $$f'(0) = 4(0)^3 + 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 1$$ $$0 + 0 + 0 + c = 1$$ $$\boxed{c = 1}$$ Además, la recta tangente y la función comparten el punto de tangencia. Si sustituimos $x = 0$ en la recta $y = x$, obtenemos $y = 0$. Por tanto, $f(0) = 0$, lo cual ya se cumple en nuestra función original ($0^4 + a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 = 0$). 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. Si te dan la recta directamente, el coeficiente de la $x$ es $f'(x_0)$.

Ahora usamos las otras dos condiciones con el valor ya conocido de $c=1$. **Condición 1: $f(-1) = 0$** $$(-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1)^2 + 1(-1) = 0$$ $$1 - a + b - 1 = 0$$ $$-a + b = 0 \implies \mathbf{a = b}$$ **Condición 2: $f'(-1) = 0$** $$4(-1)^3 + 3a(-1)^2 + 2b(-1) + 1 = 0$$ $$-4 + 3a - 2b + 1 = 0$$ $$3a - 2b - 3 = 0 \implies \mathbf{3a - 2b = 3}$$ 💡 **Tip:** Al elevar un número negativo a una potencia par el resultado es positivo, y a una potencia impar el resultado es negativo. Vigila los signos al sustituir $x = -1$.

Tenemos el sistema: $$\begin{cases} a = b \\ 3a - 2b = 3 \end{cases}$$ Sustituimos la primera ecuación ($a = b$) en la segunda: $$3(a) - 2(a) = 3$$ $$a = 3$$ Como $a = b$, entonces: $$b = 3$$ Ya tenemos los tres valores: $a = 3$, $b = 3$ y $c = 1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3, \quad b = 3, \quad c = 1}$$ La función es $f(x) = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x$.