Probabilidad de uso de dispositivos en una consultoría

**a) Elegido un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no use MacBook? (0.75 puntos)** Primero, vamos a calcular el número total de trabajadores por categoría en la empresa, sumando los de ambas sedes: - **Analistas (A):** $6 \text{ (Toledo)} + 4 \text{ (Cuenca)} = 10 \text{ analistas}.$ - **Desarrolladores (D):** $6 \text{ (Toledo)} + 6 \text{ (Cuenca)} = 12 \text{ desarrolladores}.$ - **Total de trabajadores:** $10 + 12 = 22.$ Calculamos las probabilidades de elegir a un analista o a un desarrollador: - $P(A) = \dfrac{10}{22} = \dfrac{5}{11}$ - $P(D) = \dfrac{12}{22} = \dfrac{6}{11}$ Definimos los sucesos para el uso de MacBook: - $M$: El trabajador usa MacBook. - $\bar{M}$: El trabajador no usa MacBook. El enunciado nos da las probabilidades condicionadas: - $P(M|A) = 0.30 \implies P(\bar{M}|A) = 0.70$ - $P(M|D) = 0.50 \implies P(\bar{M}|D) = 0.50$ Presentamos el árbol de probabilidad:

Para calcular $P(\bar{M})$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser analista y no usar MacBook, y de ser desarrollador y no usar MacBook: $$P(\bar{M}) = P(A) \cdot P(\bar{M}|A) + P(D) \cdot P(\bar{M}|D)$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{M}) = \left(\frac{10}{22} \cdot 0.70\right) + \left(\frac{12}{22} \cdot 0.50\right)$$ $$P(\bar{M}) = \frac{7}{22} + \frac{6}{22} = \frac{13}{22}$$ Calculando el valor decimal: $$P(\bar{M}) \approx 0.5909$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{M}) = \frac{13}{22} \approx 0.5909}$$

**b) Si se sabe que un trabajador usa MacBook, ¿cuál es la probabilidad de que sea desarrollador? (0.75 puntos)** Se trata de una probabilidad condicionada a posteriori, por lo que usaremos el **Teorema de Bayes**: $$P(D|M) = \frac{P(D \cap M)}{P(M)}$$ Primero necesitamos $P(M)$. Como sabemos que $P(\bar{M}) = \frac{13}{22}$, podemos usar el suceso contrario: $$P(M) = 1 - P(\bar{M}) = 1 - \frac{13}{22} = \frac{9}{22}$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (ser desarrollador y usar MacBook): $$P(D \cap M) = P(D) \cdot P(M|D) = \frac{12}{22} \cdot 0.50 = \frac{6}{22}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(D|M) = \frac{6/22}{9/22} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$ En valor decimal: $$P(D|M) \approx 0.6667$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza cuando queremos conocer la probabilidad de una 'causa' (ser desarrollador) dado un 'efecto' observado (usar MacBook). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D|M) = \frac{2}{3} \approx 0.6667}$$