Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de ejecución de los chips con un nivel de confianza del 94.64 %. (1 punto)** Primero, identificamos los datos del enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 144$ - Media muestral: $\bar{x} = 142$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 42$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.9464$ Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Calculamos la probabilidad acumulada: $$1 - \alpha = 0.9464 \implies \alpha = 1 - 0.9464 = 0.0536$$ $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.0536}{2} = 0.0268$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.0268 = 0.9732$$ Buscamos el valor $0.9732$ en la tabla de la normal $N(0,1)$ proporcionada. Observamos que corresponde a la fila de $1.9$ y la columna de $0.03$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.93}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja un área de $1-\alpha$ en el centro de la distribución normal estándar.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.93 \cdot \frac{42}{\sqrt{144}} = 1.93 \cdot \frac{42}{12}$$ $$E = 1.93 \cdot 3.5 = 6.755$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $142 - 6.755 = 135.245$ - Límite superior: $142 + 6.755 = 148.755$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (135.245, 148.755)}$$

**b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del 94.12 %, el error máximo admisible sea menor que 8 milisegundos. (1 punto)** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.9412$ - Error máximo: $E \lt 8$ - Desviación típica: $\sigma = 42$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = \frac{1 + (1 - \alpha)}{2} = \frac{1 + 0.9412}{2} = \frac{1.9412}{2} = 0.9706$$ Buscamos $0.9706$ en la tabla. Corresponde a la fila $1.8$ y la columna $0.09$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.89}$$

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n \gt \left( \frac{1.89 \cdot 42}{8} \right)^2$$ $$n \gt \left( \frac{79.38}{8} \right)^2$$ $$n \gt (9.9225)^2$$ $$n \gt 98.4559$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que 8, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo, siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea realmente inferior al pedido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 99\text{ chips}}$$