Álgebra 2024 Castilla la Mancha
Sistema de ecuaciones en elecciones escolares
3. En una clase se celebran elecciones para delegada y se presentan dos candidatas, Inés y Nerea. Se sabe que cuatro veces el número de votos obtenido por Nerea menos tres veces el número de votos obtenidos por Inés excede al número de votos nulos en un voto. Si dividimos el número de votos obtenidos por Inés entre el número de los obtenidos por Nerea se obtiene de cociente 1 y de resto 7 (Algoritmo de la división: $D=d \cdot c+r$). El 5 % del total de votos emitidos es nulo.
a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular el número de votos nulos y los que recibieron Inés y Nerea. (0.75 puntos)
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)
Paso 1
Definición de variables y planteamiento de la primera ecuación
**a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular el número de votos nulos y los que recibieron Inés y Nerea. (0.75 puntos)**
En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos calcular:
- $x$: número de votos obtenidos por Inés.
- $y$: número de votos obtenidos por Nerea.
- $z$: número de votos nulos.
Analizamos la primera condición del enunciado: "cuatro veces el número de votos obtenido por Nerea ($4y$) menos tres veces el número de votos obtenidos por Inés ($3x$) excede al número de votos nulos ($z$) en un voto ($z+1$)".
Traducido a lenguaje algebraico:
$$4y - 3x = z + 1$$
Reordenando la ecuación:
$$-3x + 4y - z = 1$$
Paso 2
Planteamiento de la segunda ecuación (Algoritmo de la división)
La segunda condición nos dice: "Si dividimos el número de votos obtenidos por Inés ($x$) entre el número de los obtenidos por Nerea ($y$) se obtiene de cociente $1$ y de resto $7$".
Utilizamos el **Algoritmo de la división** facilitado en el enunciado: $D = d \cdot c + r$, donde:
- Dividendo ($D$) = $x$
- Divisor ($d$) = $y$
- Cociente ($c$) = $1$
- Resto ($r$) = $7$
Sustituyendo los valores:
$$x = y \cdot 1 + 7 \implies x - y = 7$$
💡 **Tip:** Recuerda que en una división de números enteros, el dividendo es siempre igual al divisor por el cociente más el resto, cumpliéndose que el resto debe ser menor que el divisor.
Paso 3
Planteamiento de la tercera ecuación y resumen del sistema
La tercera condición indica: "El 5 % del total de votos emitidos es nulo ($z$)".
El total de votos emitidos es la suma de los votos de Inés, Nerea y los nulos: $x + y + z$.
Calculamos el $5\%$ de ese total:
$$z = 0,05 \cdot (x + y + z)$$
Para simplificar esta ecuación, podemos pasar el $0,05$ a fracción ($5/100 = 1/20$):
$$z = \frac{1}{20}(x + y + z) \implies 20z = x + y + z \implies x + y - 19z = 0$$
El sistema de ecuaciones lineales resultante es:
$$\boxed{\begin{cases} -3x + 4y - z = 1 \\ x - y = 7 \\ x + y - 19z = 0 \end{cases}}$$
Paso 4
Resolución del sistema mediante sustitución
**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)**
Vamos a resolver el sistema utilizando el método de sustitución, ya que la segunda ecuación es muy sencilla.
1) De la segunda ecuación despejamos $x$:
$$x = y + 7$$
2) Sustituimos este valor en la tercera ecuación para relacionar $y$ y $z$:
$$(y + 7) + y - 19z = 0 \implies 2y - 19z = -7 \quad [Eq. A]$$
3) Sustituimos el valor de $x$ en la primera ecuación:
$$-3(y + 7) + 4y - z = 1 \implies -3y - 21 + 4y - z = 1 \implies y - z = 22 \quad [Eq. B]$$
💡 **Tip:** El método de sustitución es ideal cuando una de las variables tiene coeficiente $1$ o $-1$, como ocurre en la segunda ecuación.
Paso 5
Cálculo de los valores finales
Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y$ y $z$):
$$\begin{cases} 2y - 19z = -7 \\ y - z = 22 \end{cases}$$
De la segunda ($Eq. B$) despejamos $y$:
$$y = z + 22$$
Sustituimos en la primera ($Eq. A$):
$$2(z + 22) - 19z = -7$$
$$2z + 44 - 19z = -7$$
$$-17z = -7 - 44 \implies -17z = -51$$
$$z = \frac{-51}{-17} = 3$$
Calculamos ahora $y$:
$$y = 3 + 22 = 25$$
Finalmente, calculamos $x$:
$$x = 25 + 7 = 32$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Inés: } 32 \text{ votos, Nerea: } 25 \text{ votos, Nulos: } 3 \text{ votos}}$$
*Comprobación rápida: El total de votos es $32+25+3 = 60$. El $5\%$ de $60$ es $0,05 \cdot 60 = 3$, que coincide con los votos nulos.*