Operaciones con matrices, producto e inversa

**a) Calcula, si es posible, $C + A \cdot B$ (0.75 puntos)** Primero debemos comprobar si el producto $A \cdot B$ es posible. La matriz $A$ tiene dimensión $2 \times 3$ (2 filas y 3 columnas) y la matriz $B$ tiene dimensión $3 \times 2$ (3 filas y 2 columnas). Como el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B$, el producto es posible y dará como resultado una matriz de dimensión $2 \times 2$. Calculamos $A \cdot B$ multiplicando filas de $A$ por columnas de $B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-1) + (2)(2) + (3)(-1) & (1)(0) + (2)(2) + (3)(1) \\ (2)(-1) + (1)(2) + (1)(-1) & (2)(0) + (1)(2) + (1)(1) \end{pmatrix}$$ Operamos los elementos: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -1 + 4 - 3 & 0 + 4 + 3 \\ -2 + 2 - 1 & 0 + 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, recuerda: el elemento $c_{ij}$ es la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por los de la columna $j$ de la segunda.

Una vez obtenido $A \cdot B$, procedemos a sumarle la matriz $C$. Para sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión (en este caso, ambas son $2 \times 2$): $$C + A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Sumamos elemento a elemento: $$C + A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 + 0 & -1 + 7 \\ 1 + (-1) & 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{C + A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}}$$

**b) ¿Son iguales $C^{-1} + (A \cdot B)^{-1}$ y $(C + A \cdot B)^{-1}$? (1.25 puntos)** Para responder a esta pregunta, calcularemos ambos términos por separado. Empezamos calculando $C^{-1}$. Primero, hallamos el determinante de $C$: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(C)$: - $adj_{11} = 0$ - $adj_{12} = -1$ - $adj_{21} = -(-1) = 1$ - $adj_{22} = 1$ $$Adj(C) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \implies (Adj(C))^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ La inversa es $C^{-1} = \frac{1}{|C|} (Adj(C))^t$: $$C^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Ahora calculamos la inversa del producto $A \cdot B$, que llamaremos $M = A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Determinante: $$|A \cdot B| = \begin{vmatrix} 0 & 7 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (0)(3) - (7)(-1) = 0 + 7 = 7$$ Inversa mediante la fórmula directa: $$(A \cdot B)^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/7 & -1 \\ 1/7 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora la suma $C^{-1} + (A \cdot B)^{-1}$: $$C^{-1} + (A \cdot B)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3/7 & -1 \\ 1/7 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 3/7 & 1 - 1 \\ -1 + 1/7 & 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/7 & 0 \\ -6/7 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculamos ahora la inversa de la matriz resultante del apartado a), $S = C + A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Determinante: $$|C + A \cdot B| = \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (6)(0) = 3$$ Inversa: $$(C + A \cdot B)^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Observa que la inversa de una matriz triangular superior es también triangular superior.

Comparamos los dos resultados obtenidos: $$C^{-1} + (A \cdot B)^{-1} = \begin{pmatrix} 3/7 & 0 \\ -6/7 & 1 \end{pmatrix}$$ $$(C + A \cdot B)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$ Claramente, las matrices no son iguales, ya que sus elementos no coinciden en ninguna posición (por ejemplo, el elemento $a_{11}$ es $3/7$ en una y $1$ en la otra). ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{No, las matrices } C^{-1} + (A \cdot B)^{-1} \text{ y } (C + A \cdot B)^{-1} \text{ no son iguales.}}$$