Probabilidad de aprobar asignaturas e independencia

**a) ¿Cuál es la probabilidad de suspender alguna de las dos asignaturas? (0.75 puntos)** Primero, definimos los sucesos principales a partir de los datos del enunciado: - $M$: Aprobar Matemáticas. - $E$: Aprobar Inglés. Traducimos los porcentajes a probabilidades decimales: - $P(M) = 0,64$ - $P(E) = 0,72$ - $P(M \cup E) = 0,78$ (Aprobar al menos una de las dos asignaturas). También necesitaremos los sucesos contrarios (suspender): - $\bar{M}$: Suspender Matemáticas. - $\bar{E}$: Suspender Inglés. 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad del suceso unión $P(M \cup E)$ representa la probabilidad de que ocurra el suceso $M$, el suceso $E$ o ambos simultáneamente.

Para resolver el problema, es muy útil conocer la probabilidad de aprobar ambas asignaturas, $P(M \cap E)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(M \cup E) = P(M) + P(E) - P(M \cap E)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,78 = 0,64 + 0,72 - P(M \cap E)$$ $$P(M \cap E) = 0,64 + 0,72 - 0,78 = 0,58$$ Ahora organizamos todos los datos en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor las probabilidades: $$\begin{array}{c|cc|c} & E & \bar{E} & \text{Total} \\ \hline M & 0,58 & 0,06 & 0,64 \\ \bar{M} & 0,14 & 0,22 & 0,36 \\ \hline \text{Total} & 0,72 & 0,28 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Los valores internos se obtienen restando. Por ejemplo, $P(M \cap \bar{E}) = P(M) - P(M \cap E) = 0,64 - 0,58 = 0,06$.

El enunciado nos pide la probabilidad de "suspender alguna de las dos". Esto equivale a decir que no se aprueban las dos a la vez. Matemáticamente, es el suceso contrario a aprobar ambas ($M \cap E$), o bien la unión de suspender Matemáticas o suspender Inglés ($\bar{M} \cup \bar{E}$). Por las leyes de De Morgan: $$P(\bar{M} \cup \bar{E}) = P(\overline{M \cap E}) = 1 - P(M \cap E)$$ Utilizando el valor obtenido anteriormente: $$P(\text{suspender alguna}) = 1 - 0,58 = 0,42$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{suspender alguna}) = 0,42}$$

**b) ¿Son independientes los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Inglés? Justica la respuesta. (0.75 puntos)** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ En nuestro caso, comprobamos si $P(M \cap E) = P(M) \cdot P(E)$: 1. Sabemos que $P(M \cap E) = 0,58$. 2. Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(M) \cdot P(E) = 0,64 \cdot 0,72 = 0,4608$$ Comparamos los resultados: $$0,58 \neq 0,4608 \implies P(M \cap E) \neq P(M) \cdot P(E)$$ Como los valores no coinciden, concluimos que los sucesos son **dependientes**. 💡 **Tip:** Si el hecho de que ocurra un suceso modifica la probabilidad de que ocurra el otro, entonces son dependientes. En este caso, aprobar Matemáticas parece aumentar las probabilidades de aprobar Inglés. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes, son sucesos dependientes.}}$$