Probabilidad y Estadística 2024 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalo de confianza y error máximo
6. La edad de los usuarios de un juego online sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 4 \text{ años}^2$. Se ha tomado una muestra de 10 usuarios y sus edades eran 16, 19, 21, 15, 14, 18, 20, 15, 14 y 18 años.
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la edad de los usuarios con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)
b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con menor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)
c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 81 y un nivel de confianza del 95.44 %? (0.5 puntos)
| z | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2.0 | 0.9772 | 0.9778 | 0.9783 | 0.9788 | 0.9793 | 0.9798 | 0.9803 | 0.9808 | 0.9812 | 0.9817 |
| 2.1 | 0.9821 | 0.9826 | 0.9830 | 0.9834 | 0.9838 | 0.9842 | 0.9846 | 0.9850 | 0.9854 | 0.9857 |
Paso 1
Identificar los datos y calcular la media muestral
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la edad de los usuarios con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)**
Primero, extraemos los datos conocidos de la población y la muestra:
- La varianza poblacional es $\sigma^2 = 4$, por lo tanto, la desviación típica poblacional es $\sigma = \sqrt{4} = 2$ años.
- El tamaño de la muestra es $n = 10$.
- Los valores de la muestra son: $16, 19, 21, 15, 14, 18, 20, 15, 14, 18$.
Calculamos la media muestral $\bar{x}$:
$$\bar{x} = \frac{16+19+21+15+14+18+20+15+14+18}{10} = \frac{170}{10} = 17 \text{ años}$$
💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos ($n$).
Paso 2
Determinar el valor crítico z de alpha/2
Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos:
$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 1 - 0.97 = 0.03$.
Repartimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0.015$.
Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.9850$$
Consultando la tabla proporcionada en el enunciado:
En la fila de **2.1** y la columna de **0.07**, encontramos el valor **0.9850**.
Por tanto:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$
💡 **Tip:** El nivel de confianza es el área central de la normal. El valor crítico delimita esa área dejando un trocito ($\alpha/2$) fuera por cada lado.
Paso 3
Calcular el error y el intervalo de confianza
Calculamos el error máximo admisible ($E$):
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{2}{\sqrt{10}} \approx 2.17 \cdot 0.6325 = 1.3725$$
El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (17 - 1.3725, \, 17 + 1.3725) = (15.6275, \, 18.3725)$$
✅ **Resultado (Intervalo de confianza):**
$$\boxed{I.C. = (15.6275, \, 18.3725)}$$
Paso 4
Análisis de la amplitud del intervalo
**b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con menor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)**
La amplitud del intervalo de confianza es igual a dos veces el error: $A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Si queremos que la amplitud sea menor manteniendo el mismo nivel de confianza (lo que implica que $z_{\alpha/2}$ no varía) y sabiendo que $\sigma$ es una característica fija de la población, la única variable que podemos modificar es el tamaño de la muestra $n$.
Como $n$ aparece en el denominador de la fórmula del error, al **aumentar el tamaño de la muestra ($n$)**, el denominador $\sqrt{n}$ se hace más grande, lo que provoca que el error $E$ disminuya. Al disminuir el error, la amplitud del intervalo se reduce.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Aumentar el tamaño de la muestra } n}$$
Paso 5
Cálculo del error para una nueva muestra y confianza
**c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 81 y un nivel de confianza del 95.44 %? (0.5 puntos)**
Identificamos los nuevos datos:
- Tamaño de muestra: $n = 81 \implies \sqrt{n} = 9$.
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.9544 \implies \alpha = 0.0456 \implies \alpha/2 = 0.0228$.
Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0228 = 0.9772$$
Mirando la tabla proporcionada:
En la fila de **2.0** y la columna de **0.00**, encontramos exactamente **0.9772**.
Así, $z_{\alpha/2} = 2.00$.
Calculamos el nuevo error:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.00 \cdot \frac{2}{\sqrt{81}} = 2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$
💡 **Tip:** No olvides que el error depende tanto del nivel de confianza (a través de $z$) como del tamaño de la muestra.
✅ **Resultado (Error máximo):**
$$\boxed{E = 0.4444}$$