Continuidad de una función a trozos y representación gráfica

**a) Halla los valores de $t$ para que la función de la altura de las olas sea continua en $x = 2$. (0.75 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $A(2)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales: $\lim_{x \to 2^-} A(x) = \lim_{x \to 2^+} A(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to 2} A(x) = A(2)$. Analizamos cada parte en $x = 2$: - **Valor de la función $A(2)$**: Usamos la segunda rama ($2 \le x \le 7$): $$A(2) = 2^2 - 8(2) + 19 + t = 4 - 16 + 19 + t = 7 + t$$ - **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$)**: Usamos la primera rama ($x < 2$): $$\lim_{x \to 2^-} [-(2x + t)^2 + (11 + t)] = -(2(2) + t)^2 + 11 + t = -(4 + t)^2 + 11 + t$$ - **Límite por la derecha ($x \to 2^+$)**: Usamos la segunda rama ($x \ge 2$): $$\lim_{x \to 2^+} [x^2 - 8x + 19 + t] = 7 + t$$ 💡 **Tip:** Para que no haya un salto entre ramas, los límites laterales deben ser iguales.

Igualamos los límites laterales para asegurar la continuidad: $$-(4 + t)^2 + 11 + t = 7 + t$$ Podemos simplificar $t$ en ambos lados: $$-(4 + t)^2 + 11 = 7$$ $$-(4 + t)^2 = 7 - 11$$ $$-(4 + t)^2 = -4 \implies (4 + t)^2 = 4$$ Ahora resolvemos la ecuación de segundo grado: $$4 + t = \pm \sqrt{4} \implies 4 + t = \pm 2$$ Esto nos da dos posibles valores para $t$: 1. $4 + t = 2 \implies t = 2 - 4 \implies \mathbf{t = -2}$ 2. $4 + t = -2 \implies t = -2 - 4 \implies \mathbf{t = -6}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = -2, \quad t = -6}$$

**b) Representa gráficamente la función de la altura de las olas, $A(x)$, para el valor $t = -1$. (0.75 puntos)** Sustituimos $t = -1$ en la función original: $$A(x) = \begin{cases} -(2x - 1)^2 + (11 - 1) & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 8x + 19 - 1 & \text{si } 2 \le x \le 7 \end{cases}$$ Simplificando: $$A(x) = \begin{cases} -(2x - 1)^2 + 10 & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 8x + 18 & \text{si } 2 \le x \le 7 \end{cases}$$ Analicemos cada tramo: 1. **Tramo 1 ($0 \le x < 2$)**: Es una parábola convexa (hacia abajo). Su vértice está en $2x - 1 = 0 \implies x = 0.5$. La altura en el vértice es $A(0.5) = 10$. 2. **Tramo 2 ($2 \le x \le 7$)**: Es una parábola cóncava (hacia arriba). Su vértice se halla con $x = -b/2a = 8/2 = 4$. La altura en el vértice es $A(4) = 4^2 - 8(4) + 18 = 16 - 32 + 18 = 2$. 💡 **Tip:** Calcula puntos clave como los extremos de los intervalos y los vértices para dibujar con precisión.

Calculamos puntos auxiliares para la representación: **Para la primera rama $A(x) = -(2x - 1)^2 + 10$:** - Si $x = 0 \implies A(0) = -(0-1)^2 + 10 = 9$ - Si $x = 0.5 \implies A(0.5) = 10$ (Vértice) - Si $x = 1 \implies A(1) = -(2-1)^2 + 10 = 9$ - Si $x \to 2^- \implies A(2) \to -(4-1)^2 + 10 = 1$ (Punto abierto) **Para la segunda rama $A(x) = x^2 - 8x + 18$:** - Si $x = 2 \implies A(2) = 2^2 - 8(2) + 18 = 6$ (Punto cerrado) - Si $x = 4 \implies A(4) = 2$ (Vértice) - Si $x = 7 \implies A(7) = 7^2 - 8(7) + 18 = 49 - 56 + 18 = 11$ Como $t = -1$ no es uno de los valores calculados en el apartado (a), hay un **salto finito** en $x=2$ (pasa de 1 a 6). ✅ **Representación gráfica:**