Evolución del número de socios de un club de fútbol

**a) ¿Cuántos socios tenía el club en el año del mundial en España, 1982? (0.5 puntos)** El enunciado nos indica que $t = 0$ corresponde al año 1965. Para calcular el valor de $t$ en 1982, restamos ambos años: $$t = 1982 - 1965 = 17$$ Ahora debemos evaluar la función $S(t)$ en $t = 17$: $$S(17) = -0.5 \cdot (2(17)^3 - 34(17)^2 - 3968(17) - 60)$$ Calculamos las potencias y productos: - $17^3 = 4913$ - $17^2 = 289$ - $2 \cdot 4913 = 9826$ - $34 \cdot 289 = 9826$ - $3968 \cdot 17 = 67456$ Sustituimos en la expresión: $$S(17) = -0.5 \cdot (9826 - 9826 - 67456 - 60) = -0.5 \cdot (-67516)$$ $$S(17) = 33758$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con los signos al multiplicar por $-0.5$. Recuerda que multiplicar por $-0.5$ es lo mismo que dividir por $-2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{33758 \text{ socios}}$$

**b) ¿En qué momento de la existencia del club se alcanzan el máximo y mínimo número de socios? ¿Cuáles son los valores del máximo y mínimo número de socios? (1.5 puntos)** Para facilitar el cálculo de la derivada, simplificamos la expresión de $S(t)$ multiplicando por $-0.5$: $$S(t) = -t^3 + 17t^2 + 1984t + 30$$ Para hallar los extremos (máximos y mínimos), derivamos la función $S(t)$: $$S'(t) = -3t^2 + 34t + 1984$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función en un intervalo cerrado $[a, b]$, debemos comprobar los puntos donde la derivada es cero y los extremos del intervalo.

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los posibles máximos y mínimos relativos: $$-3t^2 + 34t + 1984 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-34 \pm \sqrt{34^2 - 4(-3)(1984)}}{2(-3)}$$ $$t = \frac{-34 \pm \sqrt{1156 + 23808}}{-6} = \frac{-34 \pm \sqrt{24964}}{-6}$$ $$t = \frac{-34 \pm 158}{-6}$$ Esto nos da dos posibles valores: 1. $t_1 = \frac{-34 + 158}{-6} = \frac{124}{-6} \approx -20.67$ (No pertenece al dominio $[0, 53]$) 2. $t_2 = \frac{-34 - 158}{-6} = \frac{-192}{-6} = 32$ El único punto crítico dentro del periodo de existencia del club es **$t = 32$**, que corresponde al año $1965 + 32 = 1997$.

Analizamos el signo de $S'(t)$ en el intervalo $[0, 53]$ para confirmar si $t=32$ es un máximo o mínimo: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 32) & 32 & (32, 53)\\ \hline S'(t) & + & 0 & - \\ S(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, 32)$, tomamos $t=1$: $S'(1) = -3(1)^2 + 34(1) + 1984 \gt 0$. La función **crece**. - En $(32, 53)$, tomamos $t=40$: $S'(40) = -3(1600) + 34(40) + 1984 = -4800 + 1360 + 1984 \lt 0$. La función **decrece**. Esto confirma que en $t=32$ hay un **máximo relativo**.

Debemos comparar los valores de la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo ($t=0$ y $t=53$): 1. **En la fundación ($t=0$):** $$S(0) = -0^3 + 17(0)^2 + 1984(0) + 30 = 30 \text{ socios.}$$ 2. **En el máximo relativo ($t=32$):** $$S(32) = -(32)^3 + 17(32)^2 + 1984(32) + 30$$ $$S(32) = -32768 + 17408 + 63488 + 30 = 48158 \text{ socios.}$$ 3. **En la desaparición ($t=53$):** $$S(53) = -(53)^3 + 17(53)^2 + 1984(53) + 30$$ $$S(53) = -148877 + 47753 + 105152 + 30 = 4058 \text{ socios.}$$ Comparando los resultados: - El **máximo** absoluto es **48158 socios** en el año **1997** ($t=32$). - El **mínimo** absoluto es **30 socios** en el año **1965** ($t=0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 48158 \text{ socios en } t=32 \text{ (año 1997). Minimo: } 30 \text{ socios en } t=0 \text{ (año 1965).}}$$