Probabilidad y Estadística 2024 Canarias
Probabilidad de producción de manzanas y Teorema de Bayes
Dos agricultores de medianías producen manzanas de tres variedades: reineta, fuji y golden. De las manzanas producidas por el agricultor A, el 70% son reinetas, el 20% fuji y el resto golden; de las producidas por el agricultor B, un 50% son reinetas, un 30% golden y el resto fuji. Un supermercado de la zona vende manzanas solamente de estos agricultores. El 60% de las manzanas las adquiere del agricultor A y el 40% restante del B.
a) Dibuja el árbol de probabilidades correspondiente a la situación descrita. (0,5 puntos)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la manzana elegida al azar por un cliente sea de la variedad reineta? (1 punto)
c) Si la manzana elegida no es de la variedad reineta ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por el agricultor A? (1 punto)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidades
**a) Dibuja el árbol de probabilidades correspondiente a la situación descrita. (0,5 puntos)**
Primero definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: La manzana procede del agricultor A.
- $B$: La manzana procede del agricultor B.
- $R$: La manzana es de la variedad reineta.
- $F$: La manzana es de la variedad fuji.
- $G$: La manzana es de la variedad golden.
Organizamos los datos proporcionados:
- $P(A) = 0,60$; $P(B) = 0,40$.
- Para el agricultor A: $P(R|A) = 0,70$; $P(F|A) = 0,20$. Como la suma debe ser 1: $P(G|A) = 1 - (0,70 + 0,20) = 0,10$.
- Para el agricultor B: $P(R|B) = 0,50$; $P(G|B) = 0,30$. Por tanto: $P(F|B) = 1 - (0,50 + 0,30) = 0,20$.
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.
Paso 2
Probabilidad de que la manzana sea Reineta
**b) ¿Cuál es la probabilidad de que la manzana elegida al azar por un cliente sea de la variedad reineta? (1 punto)**
Para calcular esta probabilidad, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de obtener una manzana reineta a través de cada uno de los agricultores:
$$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(R) = 0,60 \cdot 0,70 + 0,40 \cdot 0,50$$
$$P(R) = 0,42 + 0,20$$
$$P(R) = 0,62$$
💡 **Tip:** Este cálculo representa la suma de los extremos de las ramas que terminan en "Reineta".
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(R) = 0,62}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**c) Si la manzana elegida no es de la variedad reineta ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por el agricultor A? (1 punto)**
Nos piden calcular la probabilidad de que la manzana sea del agricultor A sabiendo que no es reineta. Denotamos el suceso "no es reineta" como $\bar{R}$ (suceso contrario).
Calculamos primero la probabilidad de que no sea reineta:
$$P(\bar{R}) = 1 - P(R) = 1 - 0,62 = 0,38$$
Ahora aplicamos la definición de **probabilidad condicionada**:
$$P(A | \bar{R}) = \frac{P(A \cap \bar{R})}{P(\bar{R})}$$
La probabilidad de que una manzana sea del agricultor A y NO sea reineta es la suma de que sea Fuji o Golden viniendo de A:
$$P(A \cap \bar{R}) = P(A) \cdot P(F|A) + P(A) \cdot P(G|A) = 0,12 + 0,06 = 0,18$$
O también:
$$P(A \cap \bar{R}) = P(A) \cdot P(\bar{R}|A) = 0,60 \cdot (1 - 0,70) = 0,60 \cdot 0,30 = 0,18$$
Finalmente:
$$P(A | \bar{R}) = \frac{0,18}{0,38} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19} \approx 0,4737$$
💡 **Tip:** El suceso condicionado (lo que ya sabemos que ha pasado) siempre va en el denominador.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A | \bar{R}) = \frac{9}{19} \approx 0,4737}$$