Impacto de la IA en la educación: Binomial y Normal

**a) Calcula la probabilidad de que no hayan utilizado herramientas de IA entre 10 y 15 profesores. (1 punto)** Primero definimos las variables de nuestro problema para el grupo de $n = 30$ profesores: - Sea $X$ el número de profesores que **han utilizado** herramientas de IA. Sigue una distribución Binomial $X \sim B(30, \, 0.73)$. - Sea $Y$ el número de profesores que **no han utilizado** herramientas de IA. Sigue una distribución Binomial $Y \sim B(30, \, 0.27)$, donde $p = 1 - 0.73 = 0.27$. Debido a que el tamaño de la muestra es suficientemente grande ($n=30$) y se cumplen las condiciones de aproximación ($np = 30 \cdot 0.27 = 8.1 \gt 5$ y $nq = 30 \cdot 0.73 = 21.9 \gt 5$), podemos aproximar la distribución de $Y$ a una Normal: - Media: $\mu = n \cdot p = 30 \cdot 0.27 = 8.1$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{30 \cdot 0.27 \cdot 0.73} = \sqrt{5.913} \approx 2.43$ Por tanto, $Y$ se aproxima por una normal $Y' \sim N(8.1, \, 2.43)$. 💡 **Tip:** Una Binomial $B(n, p)$ se puede aproximar por una Normal $N(np, \sqrt{npq})$ si $n \cdot p \gt 5$ y $n \cdot q \gt 5$.

Nos piden la probabilidad de que entre 10 y 15 profesores **no** hayan utilizado la IA, es decir, $P(10 \le Y \le 15)$. Aplicamos la **corrección de continuidad de Yates** para pasar de la discreta a la continua: $$P(10 \le Y \le 15) = P(9.5 \le Y' \le 15.5)$$ Ahora tipificamos la variable utilizando $Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma}$: $$Z_1 = \frac{9.5 - 8.1}{2.43} = 0.58$$ $$Z_2 = \frac{15.5 - 8.1}{2.43} = 3.05$$ Calculamos la probabilidad: $$P(0.58 \le Z \le 3.05) = p(Z \le 3.05) - p(Z \le 0.58)$$ Buscando en las tablas de la Normal $N(0,1)$: - $p(Z \le 3.05) = 0.9989$ - $p(Z \le 0.58) = 0.7190$ $$0.9989 - 0.7190 = 0.2799$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(10 \le Y \le 15) = 0.2799}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 profesores hayan utilizado la IA? (1 punto)** Aquí volvemos a la variable $X$ (profesores que **sí** han utilizado la IA), donde $X \sim B(30, \, 0.73)$. Aproximamos $X$ a una Normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 30 \cdot 0.73 = 21.9$ - $\sigma = 2.43$ (la misma que antes). Nos piden $P(X \lt 10)$. Al ser una variable discreta, esto es equivalente a $P(X \le 9)$. Aplicamos la corrección de continuidad: $$P(X \le 9) = P(X' \le 9.5)$$ Tipificamos: $$Z = \frac{9.5 - 21.9}{2.43} = \frac{-12.4}{2.43} \approx -5.10$$ Calculamos la probabilidad: $$p(Z \le -5.10) = p(Z \ge 5.10) = 1 - p(Z \le 5.10)$$ Como el valor $5.10$ es muy superior al máximo de las tablas usuales (normalmente hasta $3.9$), la probabilidad acumulada es prácticamente $1$. $$1 - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Cuando un valor de Z es extremadamente grande (positivo o negativo), la probabilidad se acerca a 1 o 0 respectivamente, ya que el evento está a más de 5 desviaciones típicas de la media. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(X \lt 10) \approx 0}$$

**c) Si el número aproximado de profesores que imparte clase en una determinada facultad es de 80, ¿cuántos se espera que hayan utilizado aplicaciones de IA en su trabajo? (0,5 puntos)** Para calcular el número esperado (esperanza matemática o media) en una población de $n = 80$, utilizamos la fórmula de la esperanza de la distribución Binomial: $$E[X] = n \cdot p$$ Donde: - $n = 80$ profesores. - $p = 0.73$ (probabilidad de haber usado IA). Realizamos el cálculo: $$E[X] = 80 \cdot 0.73 = 58.4$$ Como estamos hablando de personas, podemos decir que se espera que aproximadamente **58 o 59** profesores hayan utilizado IA. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{E[X] = 58.4 \text{ profesores}}$$