Distribuciones de Probabilidad e Inferencia

**a) En una ciudad hay 10 trabajadores a distancia de esa empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 3 sean despedidos? (0,75 puntos)** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de trabajadores despedidos. - El número de ensayos es $n = 10$. - La probabilidad de éxito (ser despedido) es $p = 10\% = 0.1$. - La probabilidad de fracaso (no ser despedido) es $q = 1 - p = 0.9$. La variable $X$ sigue una **distribución binomial**: $X \sim B(10, \, 0.1)$. La pregunta nos pide la probabilidad de que "a lo sumo 3" sean despedidos, es decir: $P(X \le 3)$. 💡 **Tip:** "A lo sumo" significa "como máximo", por lo que debemos sumar las probabilidades desde 0 hasta el valor indicado.

Utilizamos la fórmula de la probabilidad puntual de la binomial: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$. Calculamos cada caso: - $P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.348678 = 0.348678$ - $P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.1)^1 (0.9)^9 = 10 \cdot 0.1 \cdot 0.387420 = 0.387420$ - $P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.1)^2 (0.9)^8 = 45 \cdot 0.01 \cdot 0.430467 = 0.193710$ - $P(X = 3) = \binom{10}{3} (0.1)^3 (0.9)^7 = 120 \cdot 0.001 \cdot 0.478297 = 0.057396$ Sumamos los resultados: $P(X \le 3) = 0.348678 + 0.387420 + 0.193710 + 0.057396 = 0.987204$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 3) \approx 0.9872}$$

**b) En España hay 300 trabajadores a distancia de la citada empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 280 conserven su empleo? (0,75 puntos)** Definimos la variable $Y$ como el número de trabajadores que **conservan** su empleo. - $n = 300$ - Probabilidad de conservar el empleo: $p = 1 - 0.1 = 0.9$. - Probabilidad de ser despedido: $q = 0.1$. Como $n$ es muy grande ($n \gt 30$), comprobamos si podemos aproximar por una Normal: - $n \cdot p = 300 \cdot 0.9 = 270 \gt 5$ - $n \cdot q = 300 \cdot 0.1 = 30 \gt 5$ Calculamos los parámetros de la Normal $N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 270$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{300 \cdot 0.9 \cdot 0.1} = \sqrt{27} \approx 5.196$ Por tanto, $Y \approx N(270, \, 5.196)$. 💡 **Tip:** Cuando $n$ es grande, la Binomial se comporta como una Normal, lo que facilita enormemente los cálculos de intervalos grandes.

Queremos calcular $P(Y \ge 280)$. Aplicamos la **corrección de continuidad de Yates** para pasar de la variable discreta a la continua: $P(Y \ge 280) \to P(Y_{normal} \ge 279.5)$ Ahora tipificamos la variable ($Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$): $P\left(Z \ge \frac{279.5 - 270}{5.196}\right) = P\left(Z \ge \frac{9.5}{5.196}\right) \approx P(Z \ge 1.83)$ Utilizamos las propiedades de la tabla de la normal $N(0, 1)$: $P(Z \ge 1.83) = 1 - P(Z \lt 1.83) = 1 - 0.9664 = 0.0336$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 280) \approx 0.0336}$$

**c) Hallar un intervalo de confianza al 97% para la proporción de trabajadores a distancia de la empresa que optarían por un despido voluntario incentivado. (1 punto)** Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{50}{400} = 0.125$ - Complemento: $\hat{q} = 1 - 0.125 = 0.875$ Para el nivel de confianza del $97\%$: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. Mirando en la tabla de la Normal estándar: $z_{\alpha/2} = 2.17$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para una proporción se calcula como $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.125 \cdot 0.875}{400}}$ $E = 2.17 \cdot \sqrt{0.0002734375} = 2.17 \cdot 0.016536 \approx 0.03588$ El intervalo es $(\hat{p} - E, \, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.125 - 0.03588 = 0.08912$ - Límite superior: $0.125 + 0.03588 = 0.16088$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.0891, \, 0.1609)}$$