Estimación de emisiones de CO2

**a) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la cantidad media de $CO_2$ emitida por vehículo en la ciudad. (0,75 puntos)** Primero, extraemos los datos del enunciado para la variable $X$ = "emisiones de $CO_2$ (g/km)": - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 150$ - Desviación típica poblacional (asumida): $\sigma = 25$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 95%: 1. Si $1 - \alpha = 0,95$, entonces $\alpha = 0,05$ y $\alpha/2 = 0,025$. 2. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor de $z$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$$ 3. En las tablas, observamos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es **$z_{\alpha/2} = 1,96$**. 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 95% es uno de los más habituales en selectividad. Aprenderlo de memoria ($1,96$) te ahorrará tiempo buscando en la tabla.

El error máximo admisible se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,96 \cdot \frac{25}{\sqrt{100}} = 1,96 \cdot \frac{25}{10} = 1,96 \cdot 2,5 = 4,9$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (150 - 4,9, \; 150 + 4,9) = (145,1, \; 154,9)$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{IC = (145,1, \; 154,9) \text{ g/km}}$$

**b) Si se admite un error máximo de 3,5 g/km, para estimar la cantidad media de $CO_2$ emitida por vehículo, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos vehículos es necesario medir la cantidad de $CO_2$? (1 punto)** Para este apartado, cambian las condiciones: - Error máximo permitido: $E = 3,5$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$ - Desviación típica: $\sigma = 25$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 90%: 1. $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05$. 2. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. 3. En la tabla, el valor exacto está entre $1,64$ y $1,65$. Tomamos el valor medio: **$z_{\alpha/2} = 1,645$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para $0,95$ en la tabla, el valor exacto suele tomarse como $1,645$ por ser el punto medio.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n = \left( \frac{1,645 \cdot 25}{3,5} \right)^2 = \left( \frac{41,125}{3,5} \right)^2 = (11,75)^2 = 138,0625$$ Como el número de vehículos debe ser un número entero y el error debe ser *como máximo* $3,5$, debemos redondear siempre al alza. ✅ **Resultado (n):** $$\boxed{n = 139 \text{ vehículos}}$$

**c) Si la medición se realizara a 75 vehículos y se obtuviera la misma media de 150 g/km y el mismo intervalo del apartado a), con una confianza del 86%, ¿cuál debería ser la desviación típica? (0,75 puntos)** Nuevos datos proporcionados: - Tamaño muestral: $n = 75$ - El intervalo es el mismo del apartado a), lo que significa que el error es el mismo: $E = 4,9$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,86 \implies \alpha = 0,14 \implies \alpha/2 = 0,07$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 86%: 1. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,07 = 0,93$. 2. Buscamos $0,93$ en el interior de la tabla normal. El valor más próximo es $1,48$ (que da $0,9306$) o $1,475$ mediante interpolación. Usaremos **$z_{\alpha/2} = 1,475$**. Despejamos $\sigma$ de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sigma = \frac{E \cdot \sqrt{n}}{z_{\alpha/2}}$$ $$\sigma = \frac{4,9 \cdot \sqrt{75}}{1,475} = \frac{4,9 \cdot 8,66}{1,475} \approx \frac{42,434}{1,475} \approx 28,768$$ 💡 **Tip:** Si en tu tabla solo usas dos decimales, con $z=1,48$ obtendrías $\sigma \approx 28,67$. Ambas respuestas suelen darse por válidas si el procedimiento es correcto. ✅ **Resultado (Desviación típica):** $$\boxed{\sigma \approx 28,77 \text{ g/km}}$$