Producción de energía de un panel solar

**a) Justificando las respuestas, explica si es continua y derivable. (0,75 puntos)** Primero analizamos la continuidad en el dominio dado $D = [7, 18]$. Las funciones que definen cada rama son un polinomio de segundo grado y una función lineal, por lo que son continuas en sus respectivos intervalos abiertos. El único punto de conflicto es el salto entre ramas en $t=14$. 1. Comprobamos el valor de la función en el punto: $$P(14) = -\frac{4}{25}(14-7)(14-17) = -\frac{4}{25}(7)(-3) = \frac{84}{25} = 3.36$$ 2. Calculamos los límites laterales en $t=14$: - Por la izquierda: $$\lim_{t \to 14^-} P(t) = \lim_{t \to 14^-} -\frac{4}{25}(t-7)(t-17) = \frac{84}{25} = 3.36$$ - Por la derecha: $$\lim_{t \to 14^+} P(t) = \lim_{t \to 14^+} \frac{3}{25}(-7t+126) = \frac{3}{25}(-7(14)+126) = \frac{3}{25}(-98+126) = \frac{3}{25}(28) = \frac{84}{25} = 3.36$$ Como $P(14) = \lim_{t \to 14^-} P(t) = \lim_{t \to 14^+} P(t)$, la función **es continua** en $t=14$ y, por tanto, en todo su dominio. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto, el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función deben coincidir.

Para estudiar la derivabilidad, calculamos primero la derivada de la función en los intervalos abiertos: $$P'(t) = \begin{cases} -\frac{4}{25}(2t-24) & \text{si } 7 < t < 14 \\ -\frac{21}{25} & \text{si } 14 < t < 18 \end{cases}$$ Ahora calculamos las derivadas laterales en el punto de salto $t=14$: - Derivada por la izquierda: $$P'(14^-) = -\frac{4}{25}(2(14)-24) = -\frac{4}{25}(28-24) = -\frac{4}{25}(4) = -\frac{16}{25} = -0.64$$ - Derivada por la derecha: $$P'(14^+) = -\frac{21}{25} = -0.84$$ Como $P'(14^-) \neq P'(14^+)$, la función **no es derivable** en $t=14$. Geométricamente, esto significa que hay un "pico" o punto anguloso en la gráfica en ese instante. ✅ **Resultado (Continuidad y Derivabilidad):** $$\boxed{\text{Es continua en } [7, 18] \text{ y derivable en } (7, 18) \setminus \{14\}}$$

**b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la producción de energía durante el día. ¿A qué hora se alcanzó la máxima producción de energía y a cuánto ascendió? (1 punto)** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: En la primera rama ($7 < t < 14$): $$P'(t) = -\frac{4}{25}(2t-24) = 0 \implies 2t - 24 = 0 \implies t = 12$$ En la segunda rama ($14 < t < 18$): $$P'(t) = -\frac{21}{25} \neq 0$$ Analizamos el signo de $P'(t)$ en los intervalos determinados por el punto crítico y el punto de salto: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (7,12) & 12 & (12,14) & 14 & (14,18)\\\hline P'(t) & + & 0 & - & \nexists & - \end{array}$$ - En $(7, 12)$, $P'(t) > 0 \implies$ La producción **crece**. - En $(12, 14)$, $P'(t) < 0 \implies$ La producción **decrece**. - En $(14, 18)$, $P'(t) < 0 \implies$ La producción **decrece**. 💡 **Tip:** Aunque la función no sea derivable en $t=14$, debemos incluir ese punto en el estudio de la monotonía por ser un cambio de rama. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (7, 12) \text{ y decreciente en } (12, 18)}$$

A partir del estudio anterior, observamos que el máximo relativo se alcanza en $t=12$, ya que la función pasa de crecer a decrecer en ese punto. Calculamos el valor de la producción en $t=12$: $$P(12) = -\frac{4}{25}(12-7)(12-17) = -\frac{4}{25}(5)(-5) = -\frac{4}{25}(-25) = 4 \text{ Kw}$$ Comprobamos los extremos del intervalo por si hubiera máximos absolutos: - $P(7) = -\frac{4}{25}(0)(-10) = 0$ - $P(18) = \frac{3}{25}(-7(18)+126) = \frac{3}{25}(-126+126) = 0$ Por tanto, el valor máximo absoluto es de 4 Kw. ✅ **Resultado (Máximo):** $$\boxed{\text{Máxima producción: 4 Kw a las 12:00 h}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "P(x) = \\{7 \\le x \\le 14: -4/25(x-7)(x-17), 14 < x \\le 18: 3/25(-7x+126)\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(12, 4)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máximo (12h, 4Kw)" } ], "bounds": { "left": 6, "right": 19, "bottom": -1, "top": 5 } } }

**c) ¿A qué hora, se superaron por primera vez los 3 Kw de producción? (0,75 puntos)** Buscamos el primer instante $t$ tal que $P(t) = 3$. Como la función es creciente de $t=7$ a $t=12$, este valor ocurrirá en la primera rama. $$-\frac{4}{25}(t-7)(t-17) = 3$$ $$-(t^2 - 17t - 7t + 119) = \frac{3 \cdot 25}{4}$$ $$-(t^2 - 24t + 119) = 18.75$$ $$-t^2 + 24t - 119 = 18.75$$ $$t^2 - 24t + 137.75 = 0$$ Multiplicamos por 4 para evitar decimales (opcional) o aplicamos la fórmula directamente: $$t = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(1)(137.75)}}{2(1)} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 551}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$t = \frac{24 \pm 5}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $t_1 = \frac{24 - 5}{2} = \frac{19}{2} = 9.5 \text{ h}$ - $t_2 = \frac{24 + 5}{2} = \frac{29}{2} = 14.5 \text{ h}$ El enunciado pregunta por la **primera vez**, por lo que elegimos $t = 9.5$. Convertimos 0.5 horas a minutos: $$0.5 \cdot 60 = 30 \text{ minutos}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se superaron los 3 Kw a las 9:30 h}}$$