Cálculo de superficie y costes de recubrimiento

**a) Representar dicha superficie. (0,75 puntos)** Para representar la superficie, primero identificamos la función que delimita el borde superior: $f(x) = \frac{-x^2+9}{3} = -\frac{1}{3}x^2 + 3$. Se trata de una parábola con las siguientes características: 1. **Orientación:** Como el coeficiente de $x^2$ es negativo ($-\frac{1}{3}$), la parábola está abierta hacia abajo (cóncava). 2. **Vértice:** El vértice se encuentra en $x = 0$, ya que no hay término en $x$. Para $x=0$, $y=3$. El vértice es $(0, 3)$. 3. **Puntos de corte con los ejes:** - Con el eje $Y$ ($x=0$): ya sabemos que es $(0, 3)$. - Con el eje $X$ ($y=0$): $$0 = \frac{-x^2+9}{3} \implies -x^2+9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3.$$ Como el enunciado impone las restricciones $x \ge 0$ e $y \ge 0$, nos interesa únicamente el recinto en el primer cuadrante delimitado por la curva y los ejes coordenados, entre $x=0$ y $x=3$. 💡 **Tip:** Las inecuaciones $x \ge 0$ e $y \ge 0$ nos indican que la región está limitada al primer cuadrante, usando los ejes cartesianos como fronteras.

A continuación se muestra la representación gráfica del recinto: $$\boxed{\text{Recinto en el primer cuadrante entre } x=0 \text{ y } x=3}$$

**b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la superficie? (1,25 puntos)** El área de la superficie delimitada por la función $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3$ y el eje de abscisas ($y=0$) entre $x=0$ y $x=3$ se calcula mediante la integral definida: $$S = \int_{0}^{3} \left( \frac{-x^2+9}{3} \right) dx$$ Separamos la fracción para facilitar la integración: $$S = \int_{0}^{3} \left( -\frac{1}{3}x^2 + 3 \right) dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una potencia es $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ y la integral de una constante es $\int k dx = kx$.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int \left( -\frac{1}{3}x^2 + 3 \right) dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + 3x = -\frac{x^3}{9} + 3x$$ Ahora evaluamos en los límites de integración $[0, 3]$: $$S = \left[ -\frac{x^3}{9} + 3x \right]_{0}^{3}$$ $$S = \left( -\frac{3^3}{9} + 3(3) \right) - \left( -\frac{0^3}{9} + 3(0) \right)$$ $$S = \left( -\frac{27}{9} + 9 \right) - (0) = -3 + 9 = 6$$ ✅ **Resultado (superficie):** $$\boxed{S = 6 \text{ m}^2}$$

**c) El precio del metro cuadrado de lona es de 20 euros y, al hacer la instalación se debe usar un 15% más de la superficie a cubrir. Además, el coste de instalación es de 5 euros por metro cuadrado de lona adquirida. ¿Cuánto cuesta recubrir la superficie? (0,5 puntos)** Primero, calculamos la cantidad de lona que se debe adquirir. Si la superficie es de $6 \text{ m}^2$ y necesitamos un $15\%$ más: $$\text{Lona adquirida} = 6 \cdot 1.15 = 6.9 \text{ m}^2$$ Ahora calculamos el coste por metro cuadrado de lona adquirida. Este incluye el precio de la lona ($20 \text{ €}$) más el coste de instalación ($5 \text{ €}$): $$\text{Precio por metro} = 20 + 5 = 25 \text{ €/m}^2$$ Finalmente, el coste total será: $$\text{Coste Total} = 6.9 \text{ m}^2 \cdot 25 \text{ €/m}^2 = 172.5 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Para aplicar un incremento porcentual del $15\%$, multiplicamos la base por $(1 + 0.15) = 1.15$. ✅ **Resultado (coste total):** $$\boxed{\text{Coste} = 172.50 \text{ euros}}$$